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( 4 ) £ = Xy A u _|_ ! -f- A, { + 2 , + 1 + h B u + 2> f — *1 G u + 1 "T ^2 G u 4- 2 
bei ganzzahligen, arbiträren Xy, A 2 eine oo 2 -Schar von Lösnngssystemen von (3). 
Umgekehrt sei V> f' irgend ein Lösungssystem von (3), sodass zugleich: 
(5) r 0 $' + rj — 0, r 0 A uJrl -\- ry B u _|_ y +r 2 C u x — 0, r u A l( _|_ 2 4- n _|_ 2 + r 2 ^ + 2 — 
da nach Voraussetzung r 0 , ry , r. 2 den gr. gern. Teiler Eins haben, so zeigt die Auflösung von (5), dass die 
mit gewissen ganzzahligen Factoren , X 2 niultiplicierten r 0 , ry, r 2 gleich sind den bez. Determinanten 
der Matrices 
( 6 ) 
C 
r c< 
s 
n‘ '£ 
Ai 4- 2 > B n + 2 
Vii + 2 
Al + 1 > B u+ y, C u + 1 
^1 r o — 
y‘ 
’C 
ctc. j Aq T’q 
V 
+ 2 ’ 
@u + 2 
B u 
d. h.: 
r 
-2, c u 
etc. 
Ersetzt man andererseits in (4) die £, y, £ durch y‘, so giebt es sicher zugehörige rationale 
Werte der Parameter 4, y ; die Auflösung von je zwei der Gleichungen (4) liefert aber, wegen VI, für die 
Xy r t , X 2 r i (i = 0, 1, 2) gerade die Werte der Determinanten (6). 
Somit sind die Xy, 1 2 ganzzahlig, nämlich 
(7) Xy — Xy , X 2 — X 2 . 
Besitzen §', y‘, ’Q‘ den gr. gern. Teiler Eins, so auch Xy, X 2 , und umgekehrt. 
§ 4. 
Damit hat man auch die Auflösung der nicht-homogenen di ophan tischen Gleichung*) 
(8) r 0 x -}- ry y + r 2 z — R. 
Eine erste Lösung xy, yy, Zy von (8) fliesst aus der ersten Gleichung II a: 
(9) xy = R A u , y — R B u , z = R C u . 
Alle weiteren Lösungen von (8) sind die Lösungen der homogenen Gleichung 
(10) r 0 (x — xy) -f ry (y — yy) + r 2 {z — z t ) = 0. 
Durch Combinierung von (9) mit (4) resultiert die Gesamtheit der Lösungen von (8): 
VII X = R A u -\~ XyA uJr y-\- X 2 A uJr2 , y—RB u -\~XyB u j r y-\-X 2 B u j r 2 , z — • • • , 
wo die Xy , X 2 ganzzahlige Parameter sind. Umgekehrt entnimmt man die irgend einer Lösung x, y, z 
correspondierenden Werte von Xy X 2 aus VII als dreireihige Determinanten: 
( 44 ) h~ \ x A U A U ^_ 2 \ , X 2 — | x A u A u _ j_ 1 1 - 
§ 5. 
Wir kehren zum Algorithmus I zurück. Ist von den Verhältnissen r 0 : ry : r 2 wenigstens eines 
irrational, so bricht der Algorithmus nicht ab. Im Uebrigen behalten aber die Gleichungen I für einen 
beliebigen Wert des Index n ihre Form. Dann setzt man: 
( 12 ) 
Ao 
r i 
+ Pj (Pj < 1) , 
+ ?2 (!?2 < 1 ) > 
so entsteht die erste Formel von I, u. s. f. Die Relationen III, IV, V behalten ihre Giltigkeit für ein 
beliebiges n. 
*) In einer diophantischen Gleichung von der Form (8) darf offenbar ohne Beschränkung der 
Allgemeinheit angenommen werden, dass r 0 , ry, r 2 positiv, imgleich, und der Grösse nach geordnet sind, 
sowie den gr. gern. Teiler Eins besitzen. 
h* 
