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Unter einem „periodischen“ Algorithmus I verstehen wir einen solchen, für den bei einem 
gewissen*) Werte von n eine Proportion: 
VIII 
r n ' 5 n -f- 1 ' r n + 2 r n + p ‘ r n -|- p -)- 1 " r n -f- p + 2 
existiert, wo p eine gewisse positive ganze Zahl l) ist. 
In geometrischer Denkweise fasse man r 0 , r 1; r 2 als die homogenen Coordinaten des „Punktes“ 
( r 0 , r r , r 2 ) einer Ebene auf. Eine Gleichung von der Form A r 0 + B r t 4- C r 2 = 0 stellt dann bei 
variabeln r und festen A, B, C eine „Gerade“ dar. Die Forderung VIII, d. h. dass alle Determinanten 
der Matrix verschwinden: 
viir | r “ "« + 1 r ; + 2 = o, 
^ n -p P ’ r n -(- p -(- 1 > 1 n -f- p -f- 2 
sagt, nach Substitution der bez. Werte III, aus, dass der Punkt (r 0 , r t , r 2 ) dem Tripel angehört, in dem 
sich die drei „Kegelschnitte“ VIII' schneiden. 
(14) 
Führt man einen Parameter k ein durch: 
lc = — = 
r n + v r n + p + 1 
r n + 2 
r n + p + 2 
so hängt die Bestimmung des fraglichen Tripels ab von der ganzzahligen Gleichung dritten Grades: 
IX 
Ko 
A„ — k Ai 
» + p ’ -ii 1 
^ A-n + p + 1 > Ai + : 
*A n + p + a | = 0.**) 
Dem Pimkte (r 0 , y\, r 2 ) entspricht eine bestimmte, reelle, positive Wurzel k‘ (>1) von IX, 
und umg. bestimmen sich bei gegeben gedachtem k‘ die r 0 , r t : r 2 aus (14). 
Wir drücken das Resultat kurz so aus : 
IX a. „Ist der Algorithmus I periodisch, so ist ( r 0 , r lt r 2 ) eine Irrationale dritten Grades.“ 
Auf die sehr wahrscheinliche Umkehrung des Satzes gehen wir nicht ein. 
§ 6 - 
Alle bisherigen Betrachtungen und Formeln lassen sich fast ohne Weiteres auf den Fall von 
d + 1 Grössen r 0 , r-, ■ • ■ r d ausdehnen. Ist der Algorithmus I periodisch, so wird IX zu einer ganz- 
zahligen Gleichung (d -j- l) ten Grades, imd (r 0 , r t ■■ r d ) zu einer Irrationale (d + l) ten Grades. Für die 
Relation V ist zu beachten, dass die bez. Determinante bei geradem d stets den Wert Eins besitzt, bei 
ungeradem d dagegen gleich ( — 1 ) n ist. 
§ 7. 
Es soll das durch den Algorithmus I involvierte Näherungsverfahren in’s Auge gefasst werden. 
Die Recursionsformeln IV sagen über das Wachsthum der A n , B n , G n nichts aus, da die v negative 
ganze Zahlen sind. Wie die Formeln VI vermuthen lassen, werden die A n : B n : r n Näherungsbrüche 
für die r 0 : : r 2 sein. 
*) Sobald nämlich VIII für einen gewissen Wert von n gilt, ist — wie aus der in § 8 gegebenen 
Darstellung von — — hervorgeht — für alle grösseren Werte des Index «: ■ - = ” p 1 , und die 
r n t r « r n -j- p 
q, wie die q‘, weisen je eine p-gliedrige Periode auf, und umgekehrt. Ist nur für einen Wert von n 
r n + 1 
r n -p p ] 
Dt -f- p 
— , so genügt (r 0 , r 1; r 2 ) einer ganzzahligen Gleichung zweiten Grades. 
**) Wegen V sind der erste und letzte Coefficient von IX gleich Eins. 
