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Für das Näherungsgesetz der A n : B n : r n ergiebt sieh zunächst nach V : 
XIII 
5 
B,. 
A 
n -j- 1 
A.. 
B 
n + 1 
r , 
r 
etc. 
Nun lassen sich die Verhältnisse 
r 
in allen Fällen , wo A 
» + 1 ! 
B n + 1 nicht 
l n + 1 + 1 
verschwinden, *) so in ein Product zerlegen, dass der eine Factor eine der Zahlen A n . B n , A n _|_ x , B n _ |_ x 
selbst ist, während der andere Factor — da r mit wachsendem n über jede Grenze wächst — nicht 
unter eine angebbare Grenze sinken kann. 
XIV. „Die Differenzen XIII sind Grössen, die bei wachsendem n unendlich klein 
1 1 
werden, wie jw resp. yvyr wo A, B eine der Grössen A n , Ä H , 1 , resp. B n , 
bedeuten.“ 
l/^ + i ■ 
Das Nämliche gilt dann auch von der Grösse: XIII' c w _|_ 1 = — — 
B 
n -f- 1 
(und ent- 
sprechend von den analogen Grössen) die man, als Mass für die „Abweichung“ der beiden Werthsysteme 
( A n : B : T n ) imd ( A n __ B B n _^) von einander nehmen wird. 
Ebenso, wie den Satz XIV, beweist man den andern: 
VH 
XV. „Der Quotient 
B- 
. 1 + B n + 1 
, wo die Quadratwurzeln positiv ge- 
n — 1 
nommen seien, ist stets endlich, d. h. er lässt sich in zwei angebbare positive 
Grenzen einschliessen, folglich wird das Product c n c n _ |_ 1 unendlich klein wie 
i 
(und das Entsprechende gilt von b n a n a nJrX ).“ 
Die Aufstellung der Abweichungen der A n _ 1 : B n _ x : jT„ _ 1 von den r 0 : r x : r. 2 würde zwar 
ganz ähnliche Formeln imd Sätze liefern, wie XIII, XIII', XIV, aus denen sich aber nicht scliliessen 
liesse, dass die fraglichen Abweichungen (absolut genommen) stets kleiner wären, als die in XIII, XIII' 
angegebenen. Um das Näherungsgesetz schärfer zu erfassen, bedienen wir uns, wie in § 5, geometrischer 
-V, in n 
Redeweise, und deuten 
71 , 
als rechtwinklige Coordinaten von Punkten (w); (r) einer 
Ebene. Unter — 1 n verstehen wir den absoluten Inhalt des von den Punkten ( n — 1), ( n ), 
(w + 1) gebildeten Dreiecks, dann ist wegen V: 
(19) ^ ' 1 
2 A 
n — 1, w, n -|- 1 
r n — 1 r n Qj _|_ 1 
Ein (n + 2)ter Punkt (m + 2) bildet mit je zwei Ecken des Dreiecks (19) ein Teildreieck ( n — 1, 
n, n + 2) etc. Nach X. kommt: 
( 20 ) 
1 n — 1, n, n + 2 ln + 2 + 1 ^ n — 1, n + 1, n + 2 + 2 ^n, n + 1, n + 2 ^ n — 1 
z7„ 
' n — L, n, n + 1 1 n + 2 ^'n — 1, n, n + 1 
also durch Addition, wiederum mit Rücksicht auf X: 
r 
n + 2 
J n — 1, n, »i + l 
( 21 ) 
1 n — 1, «, n - f- 1 
J n — 1, n, n -J- 2 
■n — 1, n -|- 1, n - 
■ 2 + 4 
n, n -)— 1, n — |— 2 
Da demnach die Summe der absoluten Inhalte der drei Theildreiecke rechts gleich dem abs. 
Inhalt des ursprünglichen Dreiecks ist, so hegt der Punkt (n + 2) im Innern des Dreiecks (n — 1, n, »+-!). 
*) Ist A n _|_ x (oder B n _j_ t ) = 0, so ist eine weitere Umformung von XIII überflüssig. 
