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Sitzung der mathematisch-astronomisch-physikalischen Sektion am 9. Dezember 1897. 
Herr Dr. Vahlen hält einen Vortrag: „Ueber höhere komplexe Zahlen“. 
Aus der Formel der orthogonalen Ebenen-Transformation : 
x‘ -f iy‘ = ( cos cp -f i sin <f) ( x -f- i y ) 
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geht für (p = — hervor, dass das Verhältnis zweier aufeinander senkrechter Einheitsvektoren der ima- 
ginären Einheit i gleich betrachtet werden muss. 
Sind daher x , x 1 , x 2 , ••, x p rechtwinklige Coordinaten im ebenen (p -j- 1) dimensionalen Raume 
und 1 , ij , i 2 , • • , i p die Einheiten auf der x — , x x — , x 2 — , • • • , x — Achse, so ist zu setzen : 
I. 
• 2 
i« + 1 =0- 
Aber auch das Verhältnis irgend zweier dieser Einheiten -7- = — i a iß muss der Gleichung I. 
iß ■ r 
genügen. Also ist: 
i a iß i a iß — — 1 , woraus durch Multiplikation mit i a : 
iß ia iß — ia > uß d durch Multiplikation mit iß : 
II. i iß = iß i (/ folgt. 
Die Addition von Vektoren: 
( x + i t x 1 H b ip x p ) + ( y ~\- ii yi ■+ b i p 1J V ) = (x + y ) i t ( + y x ) + • • t i p [x p -f y. 
ist offenbar commutativ und associativ. 
"psp 
p \~p 
Die Multiplikation von Vektoren nötigt dazu das Zahlengebiet zu erweitern und die 2 P - glied- 
rigen Zahlen: 
a -f- ii «1 -b • • ~b ip (ip -j- ix i 2 «i 2 
,+ •••+ H ' ' i v a . 
’p “12 . . p 
zu betrachten.*) 
Ueber die Addition dieser Zahlen ist nichts Neues zu sagen. Die Multiplikation, für welche 
das distributive Gesetz vorauszusetzen ist, ergiebt Zahlen derselben Art, aber es ist nicht AB = B A, 
d. h. das commutative Gesetz gilt nicht. Wohl aber gilt das associative Gesetz ; z. B. bei drei Faktoren : 
Sind nämlich: 
.«! .«2 
(AB) ■ C — A ■ ( BC )■ 
■a . -Al -P2 
V a , h V 
v , iß iß 
■ V* c‘ 
p ’ 
wo alle Exponenten 0 oder 1 sind, drei Glieder aus bzw. A. B, C, so ist nachzuweisen, dass: 
( c iß . . iß . iß iß ■ . iß) iß iß ■ • iß = iß iß ■ ■ iß ( iß iß ■ ■ iß iß iß ■ ■ iß) . 
*) Aehnlich in einem Briefe Lipschitz’ an Hermite (Comptes ßendus XCI S. 619—621, S. 660 
bis 664), welcher die folgenden Sätze teilweise, aber meist unbewiesen enthält. 
