Nun geht der eingeklammerte Faktor des ersten Produkts durch ß x (« 2 + • • -p «?) + 
ß s (“3 + ' ' ~P u p ) -t- ■ • + ßp — 1 ttp = — ßu a v Vertauschungen zweier aufeinanderfolgenden % über in: 
fl < V 
' _ — ßfl a v 
i" 1 ' ’’ 1 i" 2 P2 . ■ . i“ 1 ’ ^ Jp } unterscheidet sich also hiervon nach II durch das Vorzeichen ( — 1 ) ,u < 1 
Sonach wird das erste Produkt: 
(- 1 ) 
- ßfi a v + - 7u («V 
fl < V fl < V 
■ «1 + ß\ + Yl • “2 + 02 + 1'2 
G "2 
; L a P + 0P + yp 
während das zweite gleich 
(- 1 ) 
— ' Y fi ßv 
fl < V 
p - (/Su + y«) <v 
fl <v 
■«i + 01 + tt 
„•«2 + 02 + /2 
l 2 
■ cip + ßp + yp 
p 
wird. Da die Vorzeichen beider Werte übereinstimmen, ist das associative Gesetz für drei Faktoren 
erwiesen. Hieraus folgt es aber durch den Schluss von n — 1 auf n für beliebig viele Faktoren. 
In der That, ist die Multiplikation von A\ mit B\ die letzte zur Berechnung eines Produkts A 
aus n Faktoren erforderliche, und wurde B 1 durch Multiplikation von A a mit Bo gewonnen, so ist nach 
dem Vorhergehenden: A = A\ B\ = A t (Ao_ B 2 ) — (AxA%) B. 2 . Ergab sich f>. 2 aus A 3 mal B, , so 
wird ebenso: 
A — (Ai A%) ( A 3 B S ) = (Ai Ä 2 A 3 ) B 3 , u. s. w. bis zu 
A = ( A\ A 2 A 3 ■ • A j . ) Bf . , 
wo B k nicht mehr ein Produkt, sondern einer der n Faktoren von A ist; und die Eindeutigkeit des Pro- 
dukts A aus n Faktoren ergiebt sich, wenn dieselbe für das Produkt {AxA 2 • • • A k ) aus n — 1 Faktoren 
vorausgesetzt wird. 
Die Division kommt auf die Multiplikation zurück, wenn man die „Reziproke“ A = 
x -f- x x + • ■ + ii i 2 ■ ■ i p x 2 2 . . p einer Zahl A einführt, d. h. die Zahl, für welche A A ~ 1 = 1 ist. Für 
diese ist auch A~ 1 A = 1, d. h. die Reziproke der Reziproken ist die Zahl selbst; denn durch Multi- 
plikation von A ~ 1 • (A ~ 1 ) *== 1 mit A ergiebt sich: AA~~ 1 (A ~ 1 ) * = A, also (A ~~ 1 ) ' = A. 
Die 2 P Unbekannten x, x it ■■, x 12 . . , p sind aus den 2 P Gleichungen: 
a x — a k x 1 — a 2 x 2 • • • = 1 
III. % x + a x t — ax 2 x 2 • • • = 0 
a 2 x -f- a 12 *i -p a x 2 ■■• — () 
zu bestimmen, wenn die Determinante des Systems 
^ a — — a 2 • • \ 
jy «1 a — «12 •• 
CI 2 (l\ 2 — & ’ * 
V : : • .) 
von Null verschieden ist. Andernfalls existiert keine reziproke Zahl; es sind nicht die Gleichungen III, 
wohl aber die Gleichungen: 
a x — «i X\ — d 2 x 2 • • = 0 
a\ x -p a X\ — «i 2 *2 ’ ‘ = 0 
d 2 X -f- d\ 2 X\ -p d x 2 * • === 0 
Schriften der Physikal. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXVIII. 
k 
