auflösbar ; d. li. es existiert eine Zahl X — x -f- + • • +■ i 2 ■ • ip x x 2 . . p , für welche A X — 0 ist: 
A ist ein „Teiler der Null“. Nach einem allgemeinen Frobenius’sclien Satze sind „Teiler der Null“ in 
jedem Zahlensysteme ausser demjenigen der reellen, der gewöhnlichen komplexen und der Quaternionen, 
also bei unseren Zahlen für p j> 2 vorhanden. 
Zur Zahl A = a ■+ a\ + • • -f- i 2 ■ ■ ip a 12 • • v „adjungiert“ nennen wir die Zahl 
p ( p + 1) 
A‘=a — i t ai -+• ( — 1) 2 ii i 2 - • t p « 12 . . p , 
v ( V -f 1 ) 
in der jedes mit v Einheiten multiplizierte Glied das Vorzeichen (— 1) 2 erhalten hat. Sind ebenso 
B und B‘ adjungiert, so sind auch 
A B und B‘ A‘ 
adjungiert. Denn sind : 
*'«i *«a • • '«X Vi Va • • \v al lUXl % h V» • • % Vi Vs • • Vv 
zwei beliebige Glieder aus A und B , in denen die gemeinsamen Einheiten mit i , , i , , ■ ■ , i , bezeichnet 
/ 1 ’ 72 7 / v 
sind, so hat in den Koeffizienten: 
U V T v . 
l n l v ■ ■ l., 1,0 • • 7* 7„. • • l., = (— l) r 7., 7„ • • 7.,, lo ■ ■ lo ; 
K i a 2 K A Zi 7v Pi P/i Zi 5V v «i k 2 “A / j i 
dagegen in B‘ A‘ den Koeffizienten : 
(A + v) (A + v + i) (fi + v) (fi + v+1) 
(- 1 ) 
lo ■ ■ lo 7, , ■ • 7„ ■ • l„. 7,. ■ ■ l. , = 
P l Pu Zi 7v f< i «A Zi Zj' 
(A + v) (A + rT t) (,u + »'j (/t +7'+ 1 ) 
(- 1 ) 
+ A (M + J') + V 
Ift ‘ ‘ Ift ^ lo ‘ • lo 
( 'i «A di Pfi 
(A + ju) (A + jW + 1) 
Das relative Vorzeichen beider Glieder müsste gleich ( — 1) 
und in der That ist: 
(A + /i) (A + f(4 1) (A + v) (A + v + 1) (fi + v) (fi + v -f 1) 
sein, 
-+ 
2 2 
(A -f- fi v) (A + fi + v -j- 1) ee= 0 (mod 2). 
A fi + A v -f- fi v 
Aus : A Z> adjungiert !>' A' folgt ferner : ( A Z>) C adjungiert C" (A 13)' = C‘ B‘ A‘ , u. s. w. 
für mehr Faktoren. 
Wir beschränken uns jetzt auf Zahlen, für welche das System IV orthogonal ist. Wir nennen 
eine solche „Orthogonal-Einheit“, und ihr Produkt mit einer gewöhnlichen reellen Zahl „Orthogonalzahl“. 
Eine Orthogonalzahl ist niemals Teiler der Null, denn das Quadrat der Determinante des Systems IV 
ist gleich: («“ + nj + ■ • ■ - )- nj g . . p)~ ■ 
Sind A und B Orthogonalzahlen, so ist auch AB = C Orthogonalzahl, denn das System IV 
für C ist aus denen für A und B componiert.*) 
Ist A Orthogonalzahl, so sind auch A — 1 und A' Orthogonalzahlen, und die Systeme IV für 
die reziproken A und A~ 1 sind reziprok, die Systeme IV für die adjungierten A und A' sind adjungiert 
: ) Und zwar die Zeilen des einen mit den Kolonnen des andern. 
