[75] 
Ist A Orthogonalzahl, so wird durch: 
A (x -\- ii x-[ ' ~r ' ' ip • • p ) — y -f- i\ y\ 4- • • -j- ii i% • • ip y\ 2 • • p 
eine orthogonale Transformation der 2 P Variablen x, X\, • • , X 12 . . p bewirkt, und es ist: 
(a 2 + a- 4-- • • + a 2 2 . . p ) (x 2 + x 2 -f- ■ ■ 4- x 2 2 . . p ) = y 2 4- y\ 4- • • + y \ 2 . . p • 
„Conjugiert“ zu A nennen wir die Zahl 
Ai = (i — ii Ui — • • — (- *1 ("2 a i2 ' ' — H *2 G ®123 ' ' ' -(■ ( — 1 )^ i 1 ig • • ip @12 • • p 
und suchen diejenigen Orthogonalzahlen A, für welche: 
A (x 4~ ii x-i -}- • • ip Xp ) — (y 4 - i\ >J\ ~\~ • ■ 4- ip yp 1 A\ 
ist; .dabei hängen die y mit den x durch eine orthogonale Substitution zusammen. Ist dies zunächst die 
identische, so muss identisch sein : 
A = A x 
Aii — iiAi 
Aus der ersten Gleichung folgt: 
Aip ip Al . 
I r 
u) ^ ’ ^Ui ' ' 
also für ungrade 1 : a 
■ l ( , , CI 
0. 
«1 « 2 • • «2 
Für grade /. > 0 folgt aus einer der folgenden : 
l( V ' a «i • • "X 
f i'.) "in • • <«; b 
_ A--1 • ■ _ . ■ 
cl. n. ( ) Ct Kl . . c ,^ t ai l (<1 • ■ Ct ai , . 
a ai ■■■«;, = 0 ' 
Also: Nur eine reelle Zahl A giebt die identische Transformation. 
Es werde dieselbe Transformation durch zwei verschiedene Orthogonaleinheiten A und B be- 
wirkt; es sei also , „ T , , 
A A =■ X Ai 
und B X = Y B\ . 
Es ergiebt sich: A X A\~ 1 = Y = B X Bi~ 1 
oder B~ 1 AX — XBB 1 A t ; 
d. h. B 1 A bewirkt die identische Transformation, ist also reell; also B — A : Es kann nur eine 
Orthogonal -Einheit geben, welche eine gegebene orthogonale Transformation bewirkt. 
Oie gegebene orthogonale Transformation sei: 
Vi = 2c ki x k , x t = 2c lk y k . 
k k 
Setzt man c t k = 2 k — <51 
so folgt aus den beiden Gleichungssystemen: 
Vi + ' 2 6* * ®i . + 2/« = 2 6* /c Vk ; 
t 7c 
durch Umkehrung dieser Systeme, wenn man au 4 - ]J i = setzt : 
( z , A = 0 , 1 , • • ,p 
Xn — X 
I - , | 
(*,■* = 0 , t u = i) 
x k = - a i k > Vk 
l k i G • 
