Um nun nachzuweisen, dass A eine Orthogonalzahl ist, genügt es zu zeigsn, dass in dem Produkte 
A A‘ 
nur die reellen Glieder: 1 -f- a\ + • ■ 4- a\ 2 ■ ■ p übrig bleiben. 
Dann sind nämlich die beiden adjungierten Zahlen: 
A A‘ 
t / -x 2 • » 
y I + <1 j -f- ■ • -+- a, 2 ■ 
Vi 
■ p v - ' ■ a l d“ a 12 ■ • p 
zugleich reziprok, d. h. in ihrer Determinante IV ist jedes Element gleich der adjungierten Determinante: 
das System IV ist orthogonal. 
In dem Produkte A A‘ ist ein beliebiges Glied: 
^ m ( b)' ph ,l > • ■ ‘ (t 2)[^ p'l l J 2 ' ' ' V<i i<‘i ' ' Vl V 2 u ’ (io = i) 
und wir müssen die drei Fälle unterscheiden, dass die Indices « ganz, zum Teil oder garnicht mit Indices 
,ß übereinstimmen. 
Bei völliger Uebereinstimmung beider Index-Systeme erhält man das reelle Glied: 
[«1 «2 • • • a 2).y ■ 
Bei völliger Verschiedenheit beider Index - Systeme summiere man alle aus VIII durch Ver- 
teilung der Indices « 1 « 2 • • tt 2 ; ß\ ' ‘ ' ß% u i n zwe ‘ Gruppen von bzw. 2 I und 2 u. Indices hervorgehenden 
Glieder; diese Summe ergiebt sich, mit Benutzung von VII leicht gleich: 
( _1)P ^ + [«, « 2 ■ ' ß, ß 2 • • ft J i ai • • i (c . 2) iß,--- i, hii . 
Summiert man ebenso die Glieder: 
(- 1)." - •" [Cj «2 • • « 2 . ß 1 ■ ■ ft^.] (U,p + 1 • ■ /%] i«! • • ia 2l iß, ■ ■ iß 2u 
und die Gheder: 
,,u + 
(- 1)' ' [«1 «2 • ■ « 2 ;. - n>] [ a 2l - 21 ‘ + 1 • ■ ßl ■ • h J % ■ ■ ia 2l iß, ' ■ iß 2fl , 
so ist die Summe aller dieser Summen: 
fi 
1 (- l f {' X "I • [«1 «2 • • «21 lh ß-2 • • ia, • • i« 2l i ßl . . . ß 
, = 0 
gleich Null, da ihr erster Faktor y ( — l) 1 ’ = (1 — 1 ) L ‘ u = 0 ist. 
v = 0 
Sind schliesslich in VIII v Indices u vorhanden, die mit Indices ß übereinstimmen, so ergiebt 
sich das Verschwinden der Summe aller aus VIII durch Verteilung der verschiedenen Indices « und 
ß in zwei Gruppen hervorgehenden Glieder durch den Schluss von v — 1 auf v . 
Ist nämlich a h — ß k und entwickelt man nach VII: 
jVj • ■ • « 2 ; j in y (_ l ) ■ h + h ‘ ~ 1 [« /( <v] [«1 ' ' a h - 1 c< h + 1 • ' a w - 1 tt kf + 1 ' ■ «2 ;.] 
h‘ = l, ■ -, h — 1, ft + 1, • -, 21 
[/»!■■■ ß 2 ] üi V (- 1) + 1:1 - 1 [ßk ßk - ] [lh ■ • ßk _ 1 ß k + 1 ■ ■ ßlc' .-ißv + 1-- ßla] ’ 
so ist in der Sxunme aller Glieder VIII der Faktor: 
