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(— l) 
h + h‘ + k + V 
■ l h “/i' 
[ßk ßv 
% ßk % ßkf 
multipliziert mit der Summe: 
« * 1 )‘ " [®1 ' ' “h — 1 “h + 1 ' ' a h ' — 1 K h‘ + 1 ‘ ' a 2 [ßl ‘ ' ßk — 1 ßk + 1 ’ ‘ ßkf — 1 ßkf +- 1 ' ' ,^2 U ] 
*«i ' ' *«* - 1 i,c h + 1" i(l h‘ - 1 S' + i"\ Vl ' ' V* - 1 *flt + 1 ■ ■ */V - 1 V* + 1 • ■ v 2 „ 
zu erstrecken über alle Verteilungen der verschiedenen Indices a und ß in zwei Gruppeü. Hier sind 
nur nach v — 1 Indices « mit Indices ß übereinstimmend, sodass man durch den Schluss von v — 1 auf 
v den Beweis vollenden kann. 
Die Zahl A ist also eine Orthogonalzahl. Mit einer beliebigen reellen positiven Zahl multipliziert 
wollen wir dieselbe einen „Transformator“ nennen. Ist 
A — a -Mi ai + • • • + h H ■ • i p 2 . . p ein Transformator, 
so soll -+ ^o 2 -+ a\ +- • • -+ «jo ■ . p ) " der „Tensor“ desselben heissen. Ein Transformator dividiert durch 
seinen Tensor ist eine Orthogonaleinheit, die wir als „Versor“ bezeichnen. 
Ist A ein Transformator, A‘\ = A , so repräsentiert: 
A 14= Y , 
wo X und Y Vektoren sind, eine orthogonale Transformation mit gleichzeitiger Dehnung vom Null- 
punkte aus im Verhältnis von 
ad -+ -T — — (- a i o . . p zu Eins. 
Nach dem früher Bewiesenen gehört zu jeder solchen Transformation ein und nur ein Trans- 
formator. 
Sind also A X Ä = Y , 
und B Y B = Z 
zwei solche Transformationen, und 
BAXÄB = Z 
oder B A — C , also A B = C gesetzt : 
cxc = z 
die aus beiden zusammengesetzte, so ist auch C ein Transformator: 
Das Produkt zweier Transformatoren ist ein Transformator und der Multiplikation der Trans- 
formatoren entspricht die Composition der zugehörigen orthogonalen Transformationen. 
Will man beim Bechnen mit Vektoren und Transformatoren nicht in das Gebiet mit Teilern 
der Null hineinkommen, so darf man die Addition nur auf Vektoren anwenden und muss an Stelle der 
Multiplikation die Transformation 4 14 setzen. Z. B. ist 
414 + ß = 0 
wo A ein gegebener Transformator, B ein gegebener Vektor ist, eine lineare Gleichung für den un- 
bekannten Vektor X. Ebenso ist 
X A X 4- B = 0 , 
wo A und B gegebene Vektoren sind, eine lineare Gleichung für den unbekannten Transformator X 
Die vier Zahlenarten: Zahl, Orthogonalzahl, Transformator, Vektor, von denen jede folgende 
unter den vorhergehenden enthalten ist, fallen für p <( 4 teilweise oder ganz zusammen. 
Nämlich für p = 3 ist jede Orthogonalzahl ein Transformator; für p = 2 ist jede Zahl ein 
Transformator (eine Quaternion); für p =■ 1 ist jede Zahl ein Vektor (eine gewöhnliche complexe Zahl). 
