und OK gezogen, deren Verlängerung von einer durch G parallel zu JK gezogenen Linie in L geschnitten 
wird. Fällt man nun endlich das Loth LM auf eine durch E gezogene Horizontale, so ist die Hälfte 
3 
desselben LN = NM das gesuchte x, d. h. = aVb: a.*) 
Der Gedanke der Dreitheilung des Winkels lag vielleicht noch näher als derjenige der Würfel- 
verdoppelung. Denn nachdem man ohne Schwierigkeit mittels Zirkels und Lineals Linie und Winkel in 
zwei gleiche Theile und die erstere auch in drei oder beliebig viele gleiche Theile zu theilen als möglich 
erkannt hatte, musste man zu dem Versuch hingedrängt werden, einen beliebigen Winkel zunächst in drei 
gleiche Theile zu theilen. Als erster Mathematiker, der sich damit eingehender beschäftigte, wird Hippias 
von Elis (etwa 460 geboren) genannt. Er ist als eitler Sophist bekannt, ungeachtet dessen er natürlich 
*) Beweis. Wir bezeichnen BE =-^- b mit c und fällen HR; dann sei OR = f, HR =jj, 
so ist der Gleichung der Ellipse zu Folge 
—Li f. 1? = 1 
aber auch: r ; : | = ED: BO — e:4a, also ergiebt sich 
4 a 2 
ac 
V 4a 2 
V 
V4a 2 + c 2 
= y 
oder, wenn wir = 
V 4 a 2 -f- c 2 
setzen: f = 4 ya, y = yc. Jetzt gilt, wie aus der Figur leicht zu ersehen, eine Reihe von Proportionen 
wenn wir noch KS fällen und den Schnittpunkt T ins Auge fassen: 
OR-OD = OH: OE — OJ:OG = OK: OL = OS: OT = KS: LT; 
auch folgt daraus die Gleichheit von GL mit GE. Da nun OR: OB = £:4 a — y, so ist auch: 
OS = y. OT, KS = y.LT, 
oder, wenn wir OT = z und LM = t 
als unbekannte Grössen einführen: OS = yz, KS = y {t — c). 
Eine Beziehung zwischen z und t erhalten wir aus der schon einmal benutzten Gleichung der 
Ellipse bezüglich des Punktes K, und zwar: 
y 2 z- + 4y 2 { t — c) 2 = 4a 2 
oder, da a 2 : y- = 4n 2 -f-c 2 ist: 
z 2 — J6a 2 = (z -f 4 a) (z — 4 a) = 4i (2 c — t ) = 2 t [b — 2 t). 
Eine zweite Beziehung liefert uns das Dreieck GLTJ, wenn LU parallel AB gezogen wird, in 
welchem GU — b — t, UL = 3 a + z, GL = GE ist, nämlich: 
(b — t) 2 -f (3 a + z) 
2 = n 2 . 
b 2 . 
Lös’t man hier die Klammern auf und setzt für z 2 seinen oben gefundenen Werth ein, so hebt 
sich 2b t fort, und wir erhalten nach Unterdrückung des Factors 3 die Gleichung: 
f 2 - 2 a (z — (- 4 a). 
Mit ihrer Hülfe vereinfacht sich die obige zu: 
(z — 4a) = 26 — 4 t 
und durch Addition der aus den beiden letzten folgenden Gleichungen: 
t 2 
4 a ■+ z = q ? 
folgt : 
d. i., da t — 2 x ist: 
0 = 
t- 
4: ab 
t 
oder 
4a — z = 8 a — 
t 3 — 8 a 2 b 
4 ab 
t 
x 3 — a 2 b — — . a R , 
a 
was zu beweisen war. (Auch dieser Beweis wurde beim Vortrage selbst nicht gegeben.) 
