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Analog schliesst sich Formel (2 a) oder die ihr aequivalente (2 b) an die Figur einer gleichseitigen 
oder auch beliebigen Hyperbel an. Die Gleichung der Hyperbel sei 
( 4 ) 
x- y* 
0 der Mittelpunkt, S der Scheitelpunkt,*) P ( x , y) ein Punkt der Hyperbel, etwa im ersten Quadranten ; 
X, Y seien die Fusspunkte von x, y auf den Axen. Der Radiusvektor r begrenzt mit 0 S und dem 
Hyperbelbogen PS = s einen Sektor A; x und y sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks A. 
Der Bogen s begrenzt mit den Coordinaten x, y und den Axen zwei Flächen J x resp. J y . Endlich seien 
a,\, o 2 die Asymptoten im ersten resp. vierten Quadranten; man lege durch P, S Parallelen zu a, 2 , bis sie 
a i ™ Pi > treffen: die von s und den Strecken PI) , SS lt Pi Si begrenzte Fläche „A“ heisse die 
„Asymptotenfläche“**) von s . Dann sagen die Formeln (2a) und (2b), wie eine einfache Rechnung zeigt, 
aus, dass 
(2 a)' J ■= A — A, 
(2 b)' J,=A + A 
ist. Aber auch umgekehrt ist die Existenz dieser Relationen auf rein elementargeometrischem 
W ege ersichtlich. Denn nach einer Hauptei gen Schaft der Hyperbel (die auch als Definition gelten kann) 
sind die Dreiecke OSSi und OPP\ inhaltsgleich, nämlich gleich der Hälfte des für die Hyperbel constanten 
„Asymptotenparallelogramms“ ZZ ^ ^ . 
Nun zerfällt aber die von s und den Strecken SO, OP\, Pi P begrenzte Fläche einmal durch r 
in die Stücke A und OPP l , andererseits durch SS] in die Stücke A und OSS; , somit folgt 
( 5 ) Z = A. 
Zugleich zeigt die Figur auf den ersten Blick, dass 
( 6 ) J y+ J X = 2A, Z J x = A , 
also auch 
(7) J y J x = 2 A , J y A = A , 
Relationen, die für jeden beliebigen Kurvenbogen PS gelten (nicht bloss für einen Hyperbelbogen). 
Vermöge (6), (7) erkennt man, dass die Relation (5) mit (2 a)' oder auch (2 b)' aequivalent ist, 
und schliesslich auch noch der Gestalt: 
(8) Jy ~ J x = 2 A 
fähig ist. Wir haben also das Resultat : 
„der Satz von der Konstanz des Asymptotenparallelogramms bei der Hyperbel 
ist aequivalent***) mit den Sätzen (2a)', (2b)', (5), (8), und repräsentiert zu- 
gleich den Inhalt der Integralformeln (2a), (2b).“ 
Dass irgend eine der vier Eigenschaften (2a)', (2b)', (5), (8) für die Hyperbel charakteristisch 
ist, lässt sich aus derselben Figur, aber auch durch die Rechnung bestätigen; in der That ist der Diffe- 
*) Statt der Abscisse a des Scheitelpunktes, die nur der Bequemlichkeit halber ausgezeichnet 
wird, kann in allen Integralformeln auch die Abscisse irgend eines festen Hyperbelpunktes treten. 
**) Führt man die nämliche Konstruktion aus, indem man die beiden Asymptoten vertauscht, so 
entsteht eine zweite „Asymtotenf lache“, die aber, wie die Figur sofort zeigt, mit A inhaltsgleich ist. 
***) Andererseits ist der in Rede stehende Satz auch noch aequivalent mit der Gleichheit der 
beiden Asymptotenflächen, mit der Eigenschaft, dass das Stück der Tangente zwischen den Asymptoten 
im Berührungspunkt halbiert wird, mit dem Satze, dass die (mit richtigem Vorzeichen genommene) Sub- 
normale proportional der Abcisse ist, ferner mit dem Satze, dass 77 gleich der Hälfte des Dreiecks D ist, 
das die Tangente mit den Asymptoten bildet, endlich auch noch (falls man die Geraden als uneigen tliche 
Lösungen ausschliesst) mit der Forderung, dass D überhaupt einen konstanten Inhalt hat. Denn alle 
diese Forderungen führen in gleicher Weise auf die Differentialgleichung y y‘ = k 2 x. Man erkennt, wie 
man das zu Grunde liegende Prinzip auf Kurveneigenschaften überhaupt anwenden kann. 
