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rentialquotient von J y — J x — 2 A nach x, bis auf einen konstanten Faktor, gleich dem Differential- 
wie man erkennt, wenn man die Asymptoten als schiefwinklige 
~ — 1 nach 
r 
quotienten von — 
Coordinatenaxen heranzieht. Dieser Satz lässt sich verallgemeinern. Es sei ein rechtwinkliges Axen- 
system O x , O y nebst zwei, gegen die x - Axe gleich geneigten Geraden a t , a% gegeben. Konstruiert man 
nach obiger Angabe für irgend einen Kurvenbogen PS die Fläche A , und frägt nach allen Kurven PS , 
für die J x , J , A durch eine lineare Relation mit konstanten Coefficienten verknüpft sind: 
(9) nJ y -\- tn J x = k A , 
so erhält man eine Differentialgleichung von der Form 
( 10 ) 
« x -f- ßy 
y x-p d y’ 
die nach bekannter Methode integrierbar ist, und umgekehrt ist die geometrische Bedeutung einer 
Differentialgleichung (10) bei beliebigen a, ß, y, cf (bei geeigneter Vorzeichenbeschränkung) eine Relation 
(9) mit eindeutig bestimmten Verhältnissen der n, m, k. Man beachte, dass vermöge der allgemein 
gültigen Formeln (6) (7) die Relation (9) in sechs, der Form nach verschiedene, aber inhaltlich 
aequivalente Gestalten*) gebracht werden kann. 
Wir fassen nunmehr eben diese allgemeine Formel (6) oder auch (7) ins Auge. 
Die erste der Formeln (6), also explicite geschrieben 
(6a) 
I x dy + 
y dx — xy 
ist weiter nichts als eine besondere Form des Satzes der partiellen Integration, die praktisch den Zweck 
hat, je zwei Integrale zusammenzufassen, deren Funktionen zu einander invers sind. 
Diese Besonderheit der Form ist indessen nur eine scheinbare; denkt man sich x , y als Funktionen 
einer dritten Variabein t, wodurch der geometrische Inhalt der Glieder von (6a) nicht im Geringsten ge- 
ändert wird, (6a) aber die Gestalt annimmt: * 
(6a)' 
dy 7 , , / dx 
x -dt d,+ PTt dt = x « 
so erkennt man sofort, dass dies die allgemeine Regel der partiellen Integration vorstellt. 
„Damit erhält die Regel der partiellen Integration einen geometrisch triviale n 
Inhalt. “ 
Die zweite der allgemein gültigen Formeln (6), Z-p J x = A , schreibt sich als Integralformel : 
(6b) j r 2 d<f = xy — 2 I ydx . 
In der That ist leicht analytisch zu bestätigen, dass die Formel (6b) entsteht, wenn man im 
Integral j ydx Polareoordinaten r, tp statt der rechtwinkligen x, y einführt. Denn, wenn r‘ den Diffe- 
rentialquotienten von r nach <p bedeutet, so hat man unmittelbar: 
*) Durch einfache Rechnung leitet man aus (9) die fünf andern ab: 
J x {m + n) — 2mA -P2qA = 0, J y (m + n) — 2 n A — 2 q A = 0 , A (m + n) + A (m — n) — 2 q A = 0 , 
J x (m — n) -1- 2 m 2 — 2 q A = 0 , J y ( m — n) 2 n 2 — 2 q A — 0, 
die auch für Ausnahmefälle (m — 0 resp. n = 0 resp. q — 0 resp. m -j- n = 0 resp. m — n — 0) gültig 
bleiben; durch Einführung der in der Anmerkung zu Formel (8) aufgeführten Grössen kann die Anzahl 
der aequivalenten Formen noch erheblich vermehrt werden. 
