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( Jx = 
jydx = 
V J y = 
l x dy — 
daraus durch Subtraktion: 
J y 
( 11 ) 
(12) Jy J x = fr* d V 
und somit, wegen (6a), die gemeinte Relation (6b). 
Die eben vorgeführte Rechnung ist wiederum einer wesentlichen Verallgemeinerung fähig. 
Behandelt man nämlich analog die Integrale / x m y n dx und I x n y m dy , so ergiebt sich vermöge (6a) 
ohne Weiteres: 
(12) (m -+- 1) / r 
m + n + 1 
(cos <f) m ( sin (f) n 1 d<f = x m 1 y n — (m -f n 1) / x m y n dx . 
Hier bedeuten m, n beliebige Exponenten (excl. m + 1 =0) und y eine beliebige Funktion von x. 
Die Formel ist zahlreicher Anwendungen fähig. Sind z. B. im Besondern m, n ganze Zahlen, 
x und y durch eine Gleichung 2. Grades verknüpft, so ist das Integral rechterhand nach bekannten 
Methoden auf Logarithmen und cyclometrische Funktionen reduzierbar. Dieselbe Methode beherrscht dem- 
nach das Integral linkerhand d. i. eine ausgedehnte Klasse trigonometrischer Integrale, die 
einer direkten Behandlung schwer zugänglich wären. Für den Fall m = 0, n = 2 erhält man die für 
Rotationsflächen nützliche Formel: 
(13) I r 3 sin <f d<p = xi/ 2 — 3 j y l dx 
(die sich übrigens auch aus der Guldinschen Regel ableiten lässt). 
Man wird die Frage aufwerfen, ob nicht auch die zweite Hauptmethode der elementaren Inte- 
gralrechnung, die sog. „Substitutionsmethode“ einer einfachen geometrischen Fassung fähig ist. Es 
empfiehlt sich, die aequivalente Regel der Differentialrechnung zu Grunde zu legen, also, wenn x, y, z 
Funktionen von t sind, die Formel: 
(14) *.*>.* l. 
dx dz dy 
Der Punkt P (x, y, z) durchläuft eine Raumkurve; projiziert man die Tangente von P bez. auf die (xy)-, 
(xz)-, (zy)-Ebene, und bezeichnet die Winkel dieser Projektionen bez. mit der positiven x-, z-, y - Axe mit 
y x' ßz ’ K y> s0 sagt (14) aus, dass 
(15) tg y x . tg ß z . tg a y = 1 
ist. Das ist aber eine allgemeine (bisher, wie es scheint, wenig beachtete) Formel aus den Elementen der 
analytischen Geometrie. Denn wenn irgend eine Raumgerade, die mit den positiven Axen die Winkel «, 
ß, y bildet, wie oben projiziert wird, so hat man unmittelbar: 
(16) 
tgrx 
c °sß , „ cosec cosy 
IQ 3 = tQ ct„ = , 
cos « cos y y cos ß 
was (15) zur Folge hat, und umgekehrt leuchtet ein, dass (15) die notwendige und hinreichende 
Bedingung dafür ist, dass drei Richtungen in den Coordina tenebenen Projektionen einer 
Raumrichtung sind. Nebenbei bemerkt, bietet die Festlegung einer Raumrichtung durch die Winkel 
y x , ß z , a y vor der gewöhnlich benützten durch die Winkel y, ß, a manche Vorzüge, auch in der dar- 
stellenden Geometrie; besonders da, wo es auf den „Sinn“ der Raumrichtung nicht ankommt.*) 
*) So z. B. bei der Bestimmung der Mannigfaltigkeit der Raumwinkel w, wenn zwischen der 
Grösse w und den Grössen der drei Projektion swinkel eine oder mehrere Relationen herrschen; speciell, 
wenn alle vier Winkel der Grösse nach beliebig gegeben sind. 
