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verstanden, die Coefficienten D y (x) Functionen desselben Charakters vom Grade (m — x) sind, welche 
die Congruenzen erfüllen: 
A‘ ( D‘y. + Dx + i) — (A“ — Di) Dx = 0 mod . A . (x = 2, 3, . . . r) .... (2) 
Dabei ist vorausgesetzt, dass A(x) keinen Doppelfactor besitzt; andernfalls bleiben diese Bedingungen 
zwar notwendig, verlieren aber ihren erschöpfenden Charakter. 
2. Es seien /j, f 2 ... f r Functionen einer Variabein, über deren analytischen Charakter 
nichts vorausgesetzt ist, als dass sich ihnen eine Gradzahl n beilegen lässt, welche im übrigen ganz 
willkürlich ist, also positiv, null, negativ, ganz oder gebrochen sein kann. Man kann die Normal- 
form der linearen Differentialgleichung, welcher die Fun ctionen-Mannigfaltigkeit c x f\ -f- c 2 /2 H h Crfr 
genügt, stets und nur auf eine Weise als ein Aggregat von Ueberschiebungen darstellen: 
U, vV + 2 +,+-* = 0 (3) 
x = 2 
Y , (y — 1) 
Hier ist A, die Jacobi’sche Combinante der f, vom Grade r (n — r+1) und Gewichte ^ > 
und die „Coefficienten“ P x sind ebenfalls Combinanten der Integralfunctionen vom Grade [r(w — r + 1)— 2x] 
[ Y , (y — 1 ) "1 - 
-+xj. — Ist speciell n = (r — 1) und die Jacobi’sche Combinante, welche 
dann den Grad 0 hat, zugleich eine Constante, so erhält die Differentialgleichung die Form: 
r 
y r) Hr 2 \p*,yV-* = 0, (3a) 
x=2 
wo wieder die Coefficienten p x Combinanten der Integralfunctionen, und zwar vom Grade (— 2x) und 
Gewichte j^- : — — + * J sind. 
3. Nennen wir die Coefficienten der Differentialgleichung (3) A, P 2 , P 3 . . . P r Elementar- 
combinanten der Functionen f . , so gilt folgendes Theorem: Jede ganze rationale Combinante einer 
Formenschaar lässt sich nach Multiplication mit einer ganzen positiven Potenz der Jacobi’schen 
Combinante durch ein Aggregat von ganzen rationalen Simultancovarianten der Elementarcombinanten 
darstellen; und zwar ist diese Darstellung nur auf eine Weise möglich, wenn die Ordnung der 
Grundformen willkürlich und unbestimmt gelassen wird. 
4. Die zu der Differentialgleichung 
2 ( W _ r _|_. x )/ 1 V*,y\r-* = 0 (4) 
x — 0 K 1 ' 
adjungierte Differentialgleichung lautet: 
-° <® 
X = 0 v 17 
wobei y, p, V x bez. als Formen n- ter, v-ter, (p — 2*)-ter Dimension zu behandeln sind und 
(w + v) = (2r— 2— p) ist. — Die zu der Differentialgleichung 
r 
2/ (r) + 2 \p*,y \r-x = 0 (4a) 
x=2 
adjungierte Differentialgleichung hat die Gestalt: 
v (r) + 2 (— 1)* \ V*, n }*—* = 0, (5a) 
x =2 
wobei y und rj Formen von der Dimension (r — 1), die p x von der Dimension ( — 2x) sind. 
Sohriften der Physikal.-ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXIIL c 
