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5. Damit die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3) als ganze rationale Function 
hervorgeht, ist notwendig und hinreichend, dass die durch die Gleichungen 
e+i e 
CtpO j hl, A ]p_|_2 H“ i ßp * j -A, .P* +2 — * -f- ^1 I -P 2 , Px }p — x 
jc = 2 x—2 
9 
(6) . . . -f- Cqx | A, (Px ]p — x = 0 (q = 2, 3, . . . v) 
x = 2 
definierten Grössen P 2 , P 3 , ... ‘Pr, welche Comhinanten des Systems der Integrale sind, sich als 
ganze rationale Functionen ergehen; dabei ist vorausgesetzt, dass A keinen Doppelfactor besitzt; 
andernfalls bleiben die Bedingungen zwar notwendig, verlieren aber im allgemeinen ihren er- 
schöpfenden Charakter. — Die in (6) auftretenden Coefficienten a, b, c sind constante Zahlen, 
deren Wert sich allgemein angeben lässt. 
6 . Die homogene Differentialgleichung (3) habe zur Lösung eine ganze rationale Form 
w-ter Ordnung ; damit dies auch für die inhomogene Differentialgleichung stattfindet, welche entsteht, 
wenn man die linke Seite von (3) gleich B setzt, ist notwendig und hinreichend das Bestehen der 
Congruenz : 
(7) . . . . r . (r -|- 1) (n — r) j A, B \z — 2 (n — r -f- 2) . B . P 2 =0 mod. A, 
vorausgesetzt, dass A und B nur einfache Factoren besitzen und teilerfremd sind. 
7. Indem wir die Kriterien für die Eindeutigkeit der Integrale durch das Zeichen AL ein- 
leiten, erwähnen wir einige der einfachsten Beispiele. Die inhomogene Differentialgleichung erster 
Ordnung lautet: 
i n n | 2 (n — 1 ) 
f,y)( = <P • ÖL : | f, (f) {2 = 0 mod. f. 
Die Differentialgleichung zweiter Ordnung legen wir in der Form zu Grunde: 
(9) 
2 ( m — 1 ) n 
a, y 
(n— 2) 2 (“~ 3 > 
2 (2n — 3) 
y — 0. 
Hier haben A und P, als Combinanten der Integralformen </> und ip aufgefasst, die Werte: 
A = (cp,ip) j, P = (<p, Ah i ™d es gilt: 
OL : 2 (2 n — 8) 2 1 A, A [4 — 4 {n — 8) (2 n — 3) J A, P \% — n . (n — 2) P 2 = 0 mod . A. 
Ist hier speciell P — 0, so folgt : 
/q \ ( 2(n—l) n 1 
(9 a ) | f, y } 2 = 0 OL: \f,f\i = 0 mod . /. 
i3(n — 2) n \ A(n — B) n\ 
Für die Differentialgleichungen dritter und vierter Ordnung ) f, «/ [3 = 0 und ] f, y\ i — 0 
erhält man übereinstimmend: Oh : \f,f (4 = 0. Allgemein gilt für die Differentialgleichung r-ter 
Ordnung : 
so lange r <C 
; ein Resultat, das an dieser Stelle zwar nichts aussagt, aber später zur 
Geltung kommen wird. 
8. Die Gruppe von homogenen linearen Substitutionen der binären Argumente cc t , ir 2 , welche 
die Coefficienten A, P x der Differentialgleichung (3) in sich überführen, erzeugt eine Gruppe von 
homogenen linearen Substitutionen der Integralformen, welche isomorph auf jene bezogen ist. — 
Umgekehrt: Erzeugt eine Gruppe von homogenen linearen Substitutionen der Argumente ac 1 , x 2 eine 
isomorphe Gruppe von Collineationen einer Formen-Mannigfaltigkeit in sich, so verhalten sich die 
