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Coefficienten der durch letztere erfüllten linearen Differentialgleichung in deren invarianter Gestalt (3) 
den obigen Substitutionen der Argumente gegenüber selbst invariant. — Mit Hülfe dieser Principien 
lässt sich z. B. folgende Aufgabe behandeln: Alle Formen - Mannigfaltigkeiten aufzustellen, deren 
Jacobi’sche Combinante sich durch die Form eines der fünf regulären Körper darstellt, und welche 
bei Anwendung der homogenen Substitutionen der zu demselben gehörenden endlichen Gruppe auf 
die Argumente aq, ;r 2 Collineationen in sich erfahren. 
9. Die lineare Differentialgleichung, welcher r Formen r-ter Ordnung genügen, hat die 
einfache Gestalt: j A, y jr = 0, und es bedarf keiner Bedingungen für die Eindeutigkeit der Inte- 
grale. — Die Elementarcombinanten P y der r-fachen Mannigfaltigkeit von Formen (r+ l)-ter Ordnung, 
deren Index y. eine ungerade Zahl ist, verschwinden identisch. Die einzigen in den Ableitungen einer 
jeden Form linearen Combinanten sind in diesem Falle die Elementarcombinanten mit geradem 
Index: A, P 2 , P 4 , P 6 , . . . 
II. 
10. Wenn eine lineare Differentialgleichung mit doppeltperiodischen Coefficienten nur ein- 
deutige Integrale besitzt, so lässt sich das Fundamentalsystem derselben in Gruppen zerlegen, deren 
Elemente sich bei Vermehrung des Arguments um Perioden unter einander linear transformieren; 
bilden die Functionen /j, f 2 ... /',> eine Gruppe, so geschieht dies in folgender Weise: 
l fi (x -j- wi) = an fi (x) -j- ei# fz (x) -f \- a it ,_i /)_ i (x) -f « fi 0*0 • . (11) 
| fi (x -f to 2 ) = ha fi (x) -(- b ,2 fz (x) -)-••• + hi- 1 ft — i (x) -f- b f t (x) 1 (*= l,2...p) 
wobei die Grössen ai y und bi y durch die Relationen verbunden sind: 
i — 1 i — 1 
QiiX i (X Xy • 
X = y - j- 1 X = y 1 
(y - 1,2,... 
. fi— 2)\ 
CO 
II 
■ 9 f 
• • ( 12 ) 
11. Die allgemeine Function einer „Gruppe“ von n Integralen lässt sich darstellen als 
Product eines Sigmaquotienten in eine ganze rationale Function höchstens (p — l)-ten Grades der 
tr'(x) 
Argumente 
a (*) 
und x, deren Coefficienten rationale Functionen von p (x) und p‘ ( x ) sind. 
12. Wir nennen f(x) eine Sigmafunction p-ter Ordnung, wenn der Quotient f(x) :{ox)Q 
eine doppeltperiodische Function mit dem p-fachen Pol x = 0 und also p Nullpunkten ist. Es seien 
Sigmafunctionen der n-ten, v-ten, . . . Ordnung, und F eine isohare Function von . . ., 
<p, <f>‘, <p“ . . ., welche in den Derivierten jeder einzelnen Function homogen von den Graden g, y, . . . ist. 
Genügt F, insofern f, <p, ■ . . als ganze rationale Functionen von den Ordnungen n . oo , v . co , . . . be- 
handelt werden, der formalen Anforderung, die man an eine Simultancovariante des Grundformen- 
systems <p, . . ■ zu stellen hat, so stellt sich F als Sigmafunction der Ordnung (n g + v y -) ) 
dar. — Die Function f=<*(x;g 2l g 3 ) erfüllt die Bedingung: (f, f)n — g 2 ■ f 2 , also, wenn speciell 
g 2 = o ist, (f, f)i = 0. 
13. Die lineare Differentialgleichung r-ter Ordnung, welche die Sigmafunctionen r-ter Ord- 
nung erfüllen, lautet: 
j 0 (rx), y] r + Gi { <r (■ rx ), y\ r -i + Gk ( o (rx), y\r-z + 0% j <J (rx), yjr-s H 0. 
Hier sind die Grössen G 4 , G 6 , G s .. gewisse ganze rationale Functionen von g 2 und g 3 . — Unter den 
r 
Differentialgleichungen der allgemeineren Form: Cy { n Gx), y \ r —y — 0 , deren Coefficienten c x 
y — 0 
unbestimmte Constanten sind, ist (13) die einzige, welche durch eine ganze transcendente Function 
integriert wird. — Die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit elliptisch-transcendenten 
Coefficienten, von denen in (13) ein specieller Fall vor liegt, ist wesentlich aequivalent mit derjenigen 
der Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten, welche auch sonst vielfach be- 
handelt sind, und lässt sich auf Grund unserer allgemeinen Ergebnisse vollständig erledigen. 
