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m. 
14. Es seien A (g^, io 2 ), g. 2 (w 1; w 2 ), g 3 (w 1; w 2 ) die fundamentalen Formen der Theorie der 
elliptischen Modulfunctionen; wir betrachten die Differentialgleichung: 
(14) yw + « { 92 , y\r -2 + ß {g-3, y\r - 3 + y \g\ y\ r -i + $ \gm, y\r - s + . • . = 0, 
wo y als Form (r — l)-ter Dimension behandelt ist und a, ß,y . . unbestimmte Constanten vorstellen. 
Da überhaupt keine singulären Punkte vorliegen, so verhalten sich die Integrale von selbst eindeutig. 
Die allgemeine Theorie dieser Differentialgleichungen entwickelt sich aus den Principien von No. 8. 
15. Der Quotient zweier Integrale der Differentialgleichung: 
y“ + ±^^ 92 -y = 0 
7t 71 
vermittelt die Abbildung des Kreisbogendreiecks mit den Winkeln 0, — , — auf ein Kreisbogen dreieck 
U O 
71 7t Tt 
mit den Winkeln — , — , — . — Es sei N eine ungerade Zahl gleich (2 r + 1), so genügen die r linear- 
v £ o 
unabhängigen Modulformen IV-ter Stufe: 
«2 
q n 
(15) .... f tt ((Oi, w a ) = g* — ■öl (a (o n ; q*) (« = 1, 2, . . . r) 
V ^ Vji^> 
einer Differentialgleichung der Form (14). 
( 12 \ 
- ) die Ordnung einer Form f, so giebt 
es für jeden Wert von v eine stetige und eindeutige Function f, die durch die Bedingung wesentlich 
charakterisiert ist, dass \f,f\ i = 0. Dieselbe existiert nur in einem Kreise von endlichem Radius. 
Ist cp = (f, f) 2 und gj = (f, (p\, so gilt : 
(i6) r + ^ + = o. 
Der Quotient if 8 : f 1 ' vermittelt die Abbildung des Kreisbogendreiecks mit den Winkeln 
7t 7t 7t 
— , VC-, w auf die Halbebene. Für v = oo ist f die elliptische Modulform log /! (wj, w 2 ). 
v 2 o 
17. Es sei f{x) die „Schwarz’sche Primform“ von der Ordnung m — welche durch 
das Verschwinden ihrer vierten Ueberschiebung charakterisiert ist. Dann besitzt die lineare Diffe- 
rentialgleichung r-ter Ordnung, wo r < v sein möge: 
(17) \ly\r-0, (» = ■£+ r - l) 
gemäss (10) Integralformen, welche innerhalb des Grenzkreises nirgends unstetig werden und als 
Functionen der inhomogenen Variabein x betrachtet, durchweg einwertig sind und sich in Potenz- 
reihen nach x entwickeln lassen, die überall im Gebiete von x convergieren. — Ist speciell v = 7, 
so hat man z. B. die Differentialgleichung dritter Ordnung: 
Ü8) { 7, 2 » ja - 0. 
von der drei passend gewählte Integrale y u y 2 , y 3 die algebraische Relation erfüllen: 
(19) 2/ 3 i 2/ 3 a 2/3 -H yhyi = 
0. 
