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I. Kettenbrüche, Bernoullische Zahlen und Determinanten. 
§ 1. Bekanntlich gilt nach Larn bert die Kettenbruchentwickelung (in verkürzter Schreibart): 
1 e x — e~ x 
y 
e x -f- e~ 
= 1/1 + x 2 /3 + x 2 /5 +x 2 /7 + 
andererseits ist auch: 
y — • ßl qT H~ ßz 
4 „ * 6 , 
ßi v. + 
( 1 ) 
(2) 
: 3! ' rä 5! 
wenn ß t , ß 2 . . . die Tangentenkoeffizienten sind, welche mit den Bernoullischen Zahlen B 2 ... 
durch die Gleichung ß m — 2 2m (2 2m — 1) Bm : 2 m Zusammenhängen: wir wollen die ß m mit den 
Koeffizienten der Näh er un gs wer te des Kettenb r uchs (l) in Beziehung setzen. 
Aus seinen ersten Näherungswerten schliesst man mittels Induktion auf die allgemeine Form: 
Pn — (2 n — 1) (2 n — 3) ... 3 + (n — 2) t (2 n — 3) (2 n 
1 ) 
Qn = (2 n — 1) (2h — 3) ... 1 + (m - 
+ 
iä 
): 
((?). 
X n 
5) ... 5 a; 2 (m— 3) 2 (2 n 
~ 1 n ungerade 
5) (2m — 7) . . . 7 x 4 -j- . . . 
(n + 1) x n — 2 . . . n gerade, 
l)i (2 m — 3) (2m — 5) . . . 3x 2 
M + 1 
K 
(n - 2) 2 (2m - 5) (2m - 7) . . . 5x 4 + 
1 mx" — 1 ... m ungerade 
ttJ.. X" 
, n gerade, 
deren Richtigkeit bekannt, und sich durch den Schluss von n auf n+1 beweisen lässt. Weiter ist y — Pn/Qn 
= fl x 2n , wobei & einen positiven oder negativen echten Bruch bedeutet; daher kann sich der Quotient 
Pn : Qn, wie sich streng beweisen lässt, nicht früher von der Reihe (2) für y als im Koeffizienten von x 2 " 
unterscheiden. Daraus folgt, dass die Vergleichung der Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung : 
— 2 \ 
(2m — 1)! + • • 7 
bis zum Koeffizienten von x 2 " - 2 einschliesslich richtige Gleichungen liefert. 
Auf diesem Wege gelangt man nach den nötigen Reduktionen, und wenn m ßm — 22m - 2 Tm , 
T m = 2 (2 2m — 1) Bm gesetzt wird, zu folgenden verkürzten Rekursionsformeln: 
/ 2 
Pn = Qn (ßi — ß 2 -|j- ± . . . + (— 1)" - 1 
( 2w )a»- 2 * T k - Ma (2 m— 2)g n — 2 £ U-U+' {n)i (2m— 4) 2n _ 2i r k _ 2 . 
' (n)n 
I (m)« 
-1 (M + l)2w-2ftr, 1 . . . M ungerade 
2 
(%)2n — 2£ 
‘*-2 
m gerade 
0; (3) 
-, für gerades n : k > H ^ zu setzen. — Insbesondere folgt 
darin ist für ein ungerades n : k i> , 
Ci Ci 
für k = n eine Gleichung, welche identisch mit der zweiten Seidel sehen verkürzten Rekursions- 
formel*) ist, während die allgemeine (3) nicht mit den Sternschen Erweiterungen derselben**) überein- 
stimmt. Für k = Cm + l)/2, bez. k = m/2 entstehen neue vollständige Rekursionsformeln, deren 
rechte Seiten von Null verschieden sind. 
§ 2. Unter der Voraussetzung, dass k kleiner als m/2 ist, erhalten wir nach Fortlassung 
des gemeinsamen Faktors (2m — 2k+l) (2m — 21c — 1) . . . (2/c-f-l) eine Gleichung, welche durch 
die Substitutionen: 
m = fc + 1, yh = (— 1)M-1 {k — h)\ (2k — l)a/i — 1 ßh : 2 h ~ 1, yk = (— 1)*-K ßk : 2 k ~ 1 . . (4) 
in folgende übergeht: 
*) Sitzungsberichte d. Akad. d. Wissensch. zu München, Bd. VII (1877), pag. 157. 
**) Abhandlungen d. Gesellsch. d. Wissenschaften zu Göttingen, Bd. 23 (1878): „Beiträge 
zur Theorie der Bernoullischen und Eulerschen Zahlen“. (Vgl. Bernoullische Zahlen § 5.) 
