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( 5 ) 
(f + l)j,- — i y j -(- (1 2)4— B (21 — f- 3) y~2 4“ (1 4~ 3)4 — 4 (21 + 3) (2 1 -+ 5) y% 
' ' + (21 + 3)(21+5) ... (21 + 2Ä: — V)yu == (jfc - 1) ! (A)ä— l. 
Da beide Seiten dieser Gleichung ganze Funktionen k — l ten Grades für 1 sind, so gilt die- 
selbe für beliebige Werte von 1 und wir benutzen sie zuerst zur Bildung einer neuen Klasse 
von Rekursionsformeln, nämlich solcher, in denen Mittelglieder fehlen. 
Verstehen wir nämlich unter a eine beliebige ganze positive Zahl gleich oder kleiner als k, 
und setzen 1 = — a, so haben die ersten a — 1 Glieder in Gleichung (5) von Null verschiedene 
Werte, die folgenden (k — a 4- 1)/2 Mittelglieder verschwinden und ebensoviel Endglieder bleiben 
stehen, falls k und a ungleichartig sind ; es verschwinden aber (k — a)/2 Mittelglieder und bleibt ein 
Endglied mehr stehen, falls k und a gleichartig sind. 
Für a = 1 erhält man neue verkürzte Recursionsformeln im alten Sinne, nämlich, mit 
Einsetzung der Werte für die yh aus (4) und geringen Umformungen: 
ßk 
24— t (2 k- 1) 
V C ^ 04- 
ßk — 1 
n*-l)4 
ßk — 2 
+ (- 1 ) 2 
ßk 
4-1 
2 
24—3 (2k -3) 
2 . 4 .... (k 
24-4 (2 k — 5) 
4= 
1) 
24-1 (2k - 1) 
k 
(k-l) 2 
k(k + 2)...(2k- 1) ’ ' ' ‘ 
ßk — 1 , n 1N /?4 — 2 
4- (- 
4-2 
1) 2 (k — 1)4-2 
24-3 (2k- 
ßk+2 
3 ) 
■(*-1)4! 
2 f/c -4— 1) 
24 5 (2k — 5) 
2 . 4 .... (jfc — 2) 
(k + 1) (k 4- 3) . . . (2 k — 1) 
k ungerade, 
k gerade. 
Durch Partialbrucli-Entwickelung der rechten Seiten kann man die obigen Gleichungen, 
indem x = 2k — 1 und 2g = k — 1, bez. k — 2 gesetzt wird, auch auf diese Form bringen: 
h (- iy { (k - 1)24 + (- iy+i (g) h j 
1 
1 
1 2k- 
- 2/i — 1 
= 0, 
worin g = (k — l)/2 für ungerades k, g = (fe — 2)/2 für gerades k ist. 
Hieraus ergeben sich beiläufig folgende zahlentheoretische Sätze: 
Wenn die ganze positive Zahl m so gewählt wird, dass 2 m — 1 eine Primzahl ist, so finden 
für imgerades oder gerades k die bezüglichen Kongruenzen statt: 
2m— 4+1 
24—1 (k — 1)24— 2m 4- (- 
24—1 (k — 1)24—2»! 4- (- 
1 ) 2 
2»? — 4+2 
l) -5 “ 
(k — 1 
) ) 
l 2 
' k—m ( 
(k — 2 
) s 
l 2 
' k — m 
= 0 (mod .2m — 1), 
2 m — 1 > k > m 
woraus für k = m, und wenn 2wi — 1 — p gesetzt wird, 
P — 1 p± 3 
2 2 4- (— 1) 4 = 0 (mod.j)), 
wo von den beiden Zahlen (p-+3)/4 und (p — 3)/4 die ganze Zahl zu nehmen ist, welcher Satz (in 
etwas anderer Form) bekannt ist.*) 
§ 3. Wir bilden nunmehr Determinanten, welche sich mittels der Bernoullischen Zahlen 
auswerten lassen. Wir führen die Bezeichnung ein: 
(«) 2j+l = 2f l](2£+_ l ) : n(i), wo: Hw = IV + 1) 
also für ganzes positives p: 
(7) 
2p 4-1 = 1.3.5. . . . (2p 4-1), 
multipizieren Gleichung (5) mit 214-1, setzen successive l — s, s-|- 1, . . . s + k— 1, worin s eine 
beliebige Zahl ist und lösen das entstehende System Gleichungen für yu auf. Die hierbei auf- 
*) Siehe z. B. Bachmann, Elemente der Zahlen theorie, S. 121 f. 
