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II. Ueber gewisse bei der unabhängigen Darstellung der Bernoullischen und 
Eulerseben Zahlen auftretende Summen. 
Herr Sc hl ö milch hat. für den n teil Secantenkoeffizienten «» und den nt.en Tangenten- 
koeffizienten ßn u. A. folgende Formeln aufgestellt.*) 
2n-f-l 2 ^ 2n-\-\ j ^ 2n-\-\ j 2n-\-l 
y'# 05 G2n+1 
i 
( — l) n ein = Gj 
(— 1)«-1 ßn 
1 i 2 n i i 2>i 
1 J v-r /~r 
2 ’ 2 1 72 4 2 3 
1 1 2>i i 
T y G 6 + • • • + (- 1 )”~ 1 2w ' 22"-l 
2n 
Gr2n 
Die hierin auftretende Grösse Gi hat, wenn Ä* und jß gleichartig sind, die Bedeutung: 
p i ^ 
Gi = (— 1) 2 2 i '“ 1 [ DxP sin* x]x = 0 und Herr Sclilömilch gewinnt für sie einen sofort durch Gl. (1) 
anzugebenden algebraischen Ausdruck. 
Mit der näheren Untersuchung derselben ohne Rücksicht auf ihre Herkunft beschäftigt sich 
eine Arbeit, deren Resultate hier ohne Beweis oder nur mit kurzer Andeutung desselben wieder- 
gegeben werden sollen. 
§ 1. Wir definiren: 
i— l 
( 1 ) • 
p 
Gk 
(— 1) 2 (Jc)k-l 1 p . . .k ungerade 
kP - (k\ (k - 2 )p + (fc ) 2 (fe - 4 )P qp . . . + 
i— 2 
(—1) 2 (k)k—2 2 P . . . k gerade 
2 
PPP p 
sodass: G 0 = 0, G t = 1, G 2 = 2 p. Durch Betrachtung von Differenzreihen folgt Gi = 0, wenn 
p 
k -f- p gerade und k >* p, Gp — 2i—t p ! ; ferner ergiebt sich mittels bekannter Sätze über Binominal- 
koeffizienten : 
o t± \ 
Gk = (— 1) 2 (k — l)i— 2 
} für unger. k, ^ 4 _ 2 
j Gi == (— l)"ä~2(fc-2)*-a j 
(2) 
0 *=1 
Gk = (-1) 2 (k - l)i-i 
2 
J für gerades k 
1 
Gk 
0 
(3) 
Folgende durch Induktion aufgefundene und streng erweisliche Formel: 
*±l P 
, , . (— 1) 2 gk—l Gi ... k unger. 
p + 1 i p p p * 
Gk = k\ Gk + Gi — 2 — g -2 Gi— 4 -+- </ 3 Gi- 6 + . . . + 
(— 1) 2 g k—2 G%. ..k gerade j 
1.3.5... (2/i 3) 
worin gu — Q ' ^ ' - ‘ ' * - 2 2,i , ermöglicht es, eine Grösse G mit ungleichartigen Indices aus 
solchen mit gleichartigen Indices zusammenzusetzen. Ist in (3) k — p -f- 2 m, so bleiben rechts nur die 
ppp 
Glieder Gp , Gp— 2, Gp— 4 etc. stehen. Einfacher ist jedoch die aus (3) oder direkt aus der Definition (1) 
sich ergebende Rekursionsformel: 
p+2 , p P ) 
(4) Gk = k \ k Gi+ 4 (k - 1) Gk - 2 t 
§ 2. Auf anderweitigen Betrachtungen beruht neben anderen Formeln die Gleichung 
(5) 
p—2 
p — 4 
p — 6 
7c— 2 
Gi = 8 j (|>) 2 Gk—2 H- (p) 4 2 2 Gk — 2 + (_PJ 6 2 4 Gk—2 + ...-+- (p)p- k + 2 2p— k Gk- 2 ), 
*) Grunerts Archiv, Bd 16, S. 411 (1850). Der Aufsatz enthält noch andere Formeln, in 
p 
denen dieselben, übrigens von Herrn Sclilömilch nicht besonders bezeichneten Grössen Gk Vor- 
kommen. (Vgl. Bernoul lisclie Zahlen § 9.) 
