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welche dadurch an Interesse gewinnt, dass sie zur Bestätigung einer von Euler ohne Beweis an- 
gegebenen Gleichung dienen kann. Im zweiten Theil der Abhandlung *) : „De curva hypergeometrica 
hac aequatione expressa y = 1.2.3. ...x“ bringt Euler die Reihe s: 
s = + ^ — ( m )j ( x — l)m + l_|_ (m) 2 (x — 2 ) m + ^ — ( m) 3 ( x — 3) m + l ± . . . , 
worin m und 1 positive ganze Zahlen sind, auf die Form: 
(* - ? y+ «, p(— f ) 1_2 + w. q (* - f )'- 4 
(1+1) (1+2) . . . (1+m) 
Die hierin vorkommenden Grössen P, Q . . . ergeben sich leicht als: 
+ • • 
P = 
m+2 
Gm 
Q 
»«44 
Gm 
etc. 
2»+l 3.4... (m+2)’ ^ 2»*+3 5.6... (m+4)’ 
und die zwischen diesen Grössen von Euler durch Induktion gefundenen Rekursionsformeln lassen 
sich auf folgende Form bringen: 
n+2r 
2r G m 
— m | 
m-\-2r — 2 m+2»* — -4 m 
(m + 2r) 2 22 B x G m - (m + 2r) 4 2 4 B 2 G m ± . . . + (~ 1>*H (m + 2r>2r 22»' Br G„ 
}( 6 ) 
und dies ist die Gleichung, welche sich mittels (5) beweisen lässt. 
Mittels dieser Gleichung (6) ist es möglich, die Richtigkeit einer (durch minder einfache 
Betrachtungen gefundenen) Umformung der G k darzuthun. Es ist nämlich: 
m-j-2r Irr r 
G m = 2 2 *" m ( m + 2 r)2r J ßi m r — 1 — /S 2 m r ~ 2 dz ... dz ß 
G„ 
(7) 
worin die ß h positive, von m unabhängige Zahlen sind, deren Berechnungsmethode hier auch 
nicht andeutungsweise wiedergegeben werden kann. 
p 
§ 3. Die Grössen G k hängen enge mit den ebenfalls in der Theorie der Bernoullischen 
p 
Zahlen gebrauchten a k **) zusammen, welche durch die Gleichung: 
a k = kP - (k\ (k - 1)p + (Je) 2 (k - 2> ± . . . + (- l)*-i (k)k - 1 l p .... (8) 
definiert sind. Man findet nämlich: 
G 2k = 2? { a k ~ Wi 4-1 + (* + 1)2 4-2 + • • . ± (2Ä — 2)i-i 4 } ; .... (9) 
p p 
es lässt sich also die Grösse G r mit geradem unterem Index durch Grössen a k ausdrücken; aber 
auch das Umgekehrte ist möglich. Es ist nämlich: 
2P a k = 
i+1 
2 P a lc — k 
p 
g 2 r 
jfc^E (* - !)i 4-2 + ^+2 ' (* - 2)2 4-1 + 
fc+1/7 n , ^ , Ä+l/j n ^ , 
' -~Y~ Wl G 2k — 2 + ^4+1 ( /c ~ !)a 4‘ + 
I p 
k G k+1 
p 
2 G k 
I P 
2 G k — 1 • 
(k+1) G k 
k unger. 
. k gerade 
k unger. \ 
. k gerade/ / 
( 10 ) 
wobei in beiden Gleichungen für gerades p die rechte Seite erst mit G p beginnt, wenn k > p/2 
ist. Somit nimmt bei der, immer angänglichen, Voraussetzung eines geraden p, die Anzahl 
p i+l 
der Glieder für a k und a k bei wachsendem k anfangs zu (bis höchstens (p + 2)/4 bez. (p + 4)/4) und 
dann wieder ab. 
*) Novi Comentarii Petrop. t. XIII (1769) p. 3. 
**) Siehe Bernoullische Zahlen §8 und § 9 (Eytelweinsche und S ch er ksche Formeln). 
Schriften der Physikal, -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXIII. 
