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dem andern zugehörigen Extrembereichs hegen. 
Mengen 
M, Mi, 
Wir erhalten damit eine abzahlbare Reihe von endlichen 
M 2 , M v , ■ ■ 
so dass jeder Maximumspunkt mindestens einer dieser Mengen angehört. Eine abzahlbare Reihe von end- 
lichen Mengen liefert aber eine abzahlbare Gesamtmenge, womit der Satz für die Maxima erwiesen ist. 
Ebenso folgt er für die Minima. 
Der Satz lässt sich übrigens auch auf Funktionen mehrerer Yariabeln ausdehnen. Man muss 
zu diesem Zweck um jeden Punkt £ einen rechteckigen Bereich konstruieren, in der Weise, wie ich dies 
kürzlich für einen andern Zweck angegeben habe 1 ), und ß y _ durch die kleinste Entfernung des Punktes £ 
von den Seiten dieses Rechtecks ersetzen. 
Betrachtet man übrigens die Grösse ß als Funktion des Wertes £, so dass in allen Punkten, 
die nicht einem Extremum entsprechen, -9 = 0 ist, so bildet & als Funktion von x eine der bekannten 
punktweise unstetigen Funktionen, die in allen Stetigkeitspunkten den Wert Null haben, und bei denen 
die Stellen, deren Unstetigkeitsgrad w> k ist, für jedes lc eine endliche Menge bilden. 
Ist £ ein uneigentliches Extremum, so existiert ein Intervall x 1 ---x 2 , das £ einschliesst, wie 
das oben benutzte, nicht mehr, aber es existieren Intervalle x 1 ---x 2 , so dass für jeden inneren Punkt x 
f(x)<f(£) resp. f (ab j> f (£) 
ist. Diese Intervalle besitzen auch jetzt wieder links und rechts je einen Grenzpunkt £ t — £ — 9- t , und 
£ r = und es folgt wiederum, dass 
f(JU) = ftö = f%) = V 
ist; es kann aber jetzt eine der beiden Grössen ß^ und ß auch den Wert Null annehmen. Endlich sei 
wieder £ l ■ • ■ £ r =-9- der Extrembereich des Punktes £. Ist nun insbesondere £ ein Maximumspunkt, so 
giebt es der Definition gemäss innerhalb von ß und sogar in jeder Nähe von £ Werte £‘, so dass 
f(£‘) —f(£) ist, während für keinen Punkt x von ß etwa f(£‘)<^f(x) sein kann. Es ist daher auch 
£‘ ein Maximumspunkt, und ß der zugehörige Bereich. 
Sei nun Mg die Menge aller innerhalb von ß gelegenen Maximumspunkte, für die /’(J-) = ?j ist, 
so ist leicht ersichtlich, dass diese Menge, falls man ihr auch die Endpunkte £ L und £ hinzurechnet, ab- 
geschlossen ist, so dass also jeder innerhalb von ß liegende Grenzpunkt ihr zugehört. In der That, falls 
, £ 2 , £ 3 ■ ■ ■ • Punkte von M g sind, die gegen den innerhalb von ß gelegenen Grenzpunkt £ f0 konvergieren, 
so ist 
AU = f'tfv) = v , 
und es ist daher £ u) ein der Menge Mg ungehöriger un eigentlicher Maximumspunkt. Andererseits sieht 
man leicht, dass jeder isolierte Punkt von Mg ein eigentlicher Maximumspunkt ist und umgekehrt. 
Sei nun ein ausserhalb von ß liegender Maximumspunkt, für den ebenfalls f {£{) = ist, 
so bestimmt er einen Extrembereich ß 1 , der notwendig ausserhalb von ß liegt und für den die analogen 
Betrachtungen angestellt werden können. Dem Wert j; entspricht also eine endliche oder abzählbare 
Reihe solcher Intervalle ß, von der unmittelbar einleuchtet, dass sie in keinem Teilintervall von a ■ ■ ■ b 
überall dicht hegen. Dies schliesst allerdings nicht aus, dass die Intervalle ß gegen einen Punkt x M sich 
verdichten; da aber die Endpunkte der Intervalle keine Maximumspunkte zu sein brauchen, so ist dies 
auch für den Grenzpunkt solcher Endpunkte nicht nötig. Also folgt schliesslich: 
Ist £ ein uneigentlicher Maximumspunkt der stetigen nirgends konstanten 
Funktion f(x), so bestimmt er ein Intervall ß und in ihm eine abgeschlossene Menge Mg 
der Punkte f(£) — rj, so dass jeder isolierte Punkt dieser Menge ein eigentliches, und 
jeder Grenzpunkt, der nicht Intervallendpunkt ist, ein uneigentliches Maximum liefert. 
Auch die Endpunkte von ß können Maximumspunkte sein. Alle diese Intervalle ß, die 
dem Funktionswert rj entsprechen, bilden eine nirgends dichte Intervallmenge, so dass 
die Grenzpunkte dieser Menge nicht notwendig Maximumspunkte sind. 
1) Vgl. Nachr. d. Gött. Ges. d. Wiss. 1899, S. 
