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Mit Hülfe derselben lässt sich folgende Umformung beweisen, worin für p eine gerade Zahl, 
2 m genommen werden muss: 
2 m 2 m „ i 2 m 2 2 «2 2 »w — 1 
— (Zg 3? + #3 JC "H * ’ * — d‘2 m ^ 
l f -i /^fWl I /y?W 2 | / 1 \W2 — 1 /-yWi 912 — 1\ . 
= y \} — ^iy + ^2 v + — M— *) c tn _ 1 y ) ; 
darin hat y die Bedeutung 
y = x (1 — x) also y = = 1 — 2 x, 
und die C’ k sind (konstanten, welche sich recursiv durch die Formel 
(3) C™ + 1 = (k + 11 ] (k + 1) CT + 2 (2 lc + 1) Cl'_ x | 
und independent durch die Formel 
(41 C™_ 1 = k 2m -(2k\ (k — l) 2m + (2 k) 2 (fc-2) 2m T ... ±(‘2%_ 1 l 2m 
bestimmen lassen. 
Ist nun das (z - (- l) te Glied einer arithmetischen Reihe (2 m) ten Grades T z _^_ x eine gerade Funktion 
von z, also von der Form 
(5) T z _j_ i = A 0 -f- A x z“ -j- A 2 z 4 -| — ■ + A m z 2 , 
und sind b 1: b 2 , ■ ■ ■ bo m die Initialen ihrer l ten , 2 ten , • • • 2 m ten Differenzreihe, so gilt die der Gleichung (2) 
analoge, in welcher wieder y t = x (1 — x) und die D k (konstanten sind : 
< 6 ) 
b i — b 2 x -j- b 3 x A 
r 2 m 1 
= (1 
X (D 0 - X>i y + D 2 y 2 
- 2 x) 
+ (— 11” 
D.. 
-iV 
m — 1 
diese Gleichung bildet die Grundlage der Untersuchung; setzt man darin nach einander er = 0, x 
x = 1 , so folgen die Beziehungen D 0 = , und : 
^ : 
2 
< 7 ) 
bo Uq 
by — 9 + ■ • 
L O 1 o2 
- = °; 
<81 
b 2 — b s 2z )- b 2m = 2 6, 
Multiplizieren wir Gl. (6) mit x n (1 — x) n dx, und integrieren von 0 bis 1, so erhalten wir: 
(9) 
h 
bo 
(2«+ 1) • • • (w+ 1) (2n-\-2) • • ■ (w-f-2) 
wenn n = 0 oder eine positive ganze Zahl ist; und 
(2 n 4- 2 m ) ■ • • (w -f- 2 m) 
= 0, 
( 10 ) 
6 _|_ v" (_ i)4 , (n±l)(n+2)..-(n+k) = 0 , 
1 * = l (2 w + 2) (2 w -f- 3) (2 m -f A — {— 1) ' , + 1 
wenn n eine beliebige gebrochene Zahl > — 1 ist. 
Eine arithmetische Reihe der geforderten Art ist unter anderen diejenige, welche als Initialen 
ihrer Differenzreihen die Binomialcoefficienten der 2 m ten Potenz mit Ausschluss von (2 m) 2m besitzt; 
.schreibt man daher eine beliebige der Gleichungen (7) bis (10) in der Form 
i 1 n h - r? h + r 3 h =f y*m hm = 0 - 
wobei die y k nur von ihrem Index, nicht von m abhängen, so gilt die bemerkenswerte Beziehung 
<!2) y x — (2 m) x y 2 + (2 m\ y 3 =F (2 m ) 2 m _ 1 y 2m = 0. 
