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Wählt man von den Gleichungen (7) bis (10), deren Zahl durch Aenderung von n beliebig gross 
gemacht werden kann, 2 m — 2 willkürlich aus, so sind diese von einander unabhängig, jede weitere ist 
aber eine Folge derselben. 
Der Grad der arithmetischen Reihe kann auch unendlich gross gemacht werden ; dadurch gelangen 
wir zur Summation unendlicher Reihen, wobei jedoch noch die Forderung hinzutritt, dass sie convergent 
sein müssen. 
Brauchbare Funktionen dieser Art sind 
T z \ x = cos ( zv ) und = z sin ( zv ). 
(13) 
Jl 1? 
Die erste der entstehenden Gleichungen ist, wenn — — = w gesetzt wird, folgende : 
2 y x cos 2 w + ^2 cos w) 2 cos (2 w) -j- ( y) s (2 cos w ) 3 cos (3 iv) + in inf '■ = 0 , 
die zweite kann aus ihr durch Differentiation abgeleitet werden. Der Spielraum von w liegt in der Regel 
Jl Jl 
zwischen — nnd 2 — und kann im gegebenen Falle leicht gefunden werden. 
Mit Hülfe von Integrationen können aus Gl. (13) beliebig viele andere gewonnen werden; die 
einfachsten derselben sind 
(14) 
und 
(151 
22 -v. 
- cos w sm w - 
Y 3 
cos 2 w sin (2 w) ■ 
23 
Yi 
cos° iv sm 
2 2 
Y 3 
2 3 v 
Yi 
cos iv cos w - , 
1.2 2.3 
cos 2 w cos (2 w) 
3.4 
COS° IV cos 
(3 w) -j- • • • — yi 
s (3 w) -} = n (l-(^- iv^j tgtoj. 
Durch Trennung des Rationalen vom Irrationalen folgen aus Gl. (6), indem wir y als rational 
ansehen, noch weitere Beziehungen zwischen den b k unter sich und folgender Ausdruck für D k : 
( lß ) D k = — \b 21c 2 — (k + hk + 3 + + 2 ) 2 h k + 4 
(k- f- 3) 3 b 2 i c 4- 5 ± 1- (2 m 2 ) fc) 2 m _ 2 _ 2 k ^2 m ! • 
Einen Ausdruck anderer Art für D k erhält man vermöge des Zusammenhanges, welcher zwischen 
den G' k und den Grössen G k besteht, welche letzteren vom Vortragenden in einer früheren Arbeit 1 ) 
behandelt worden sind. Es ist nämlich 
G 2 m q '2 m n m 
2 k = * °k - 1 
und mit Hülfe der Gl. (91 a. a. 0. erhält man 
(18) 
D k — b k _ j_i — (k l) x b k + (Je -f- 2) 2 b k __ x 1)^ (2 k) k b x . 
Der Vergleich der rechten Seiten von (16) und (18) führt zu einer neuen Gleichung zwischen 
den b k , die wir als (19) bezeichnen wollen, somit zu einer neuen Klasse der y k und sodann auch zu weiteren 
Reihensummierungen. 
Multipliziert man Gl. (2) mit x-dx und integriert von 0 bis 1, so ist der Wert der linken 
Seite 2 ) (— 1)”* B m , also erhält man die Gleichung 
i » . , c;;_i 
( 20 ) 
(— ir B =- p v (— ir- 
1 m 6 r=2 i(2* + l)(2i) i 
1) Zwei Abhandlungen aus dem Gebiete der Bernoullischen Zahlen, diese Schriften 
Jg. 1892, 2te Abhdl. 
2) Siehe meine Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, Berlin, Springer, 1893, 
Gleichung LXIV (Seite 83). 
