117 ] 
Es lässt sich aber mittels der Gleichungen (3) und (4) beweisen, dass eine 
fc(2* + l)(2*)j 
ganze Zahl ist, erstens, wenn 2k-\-l eine zusammengesetzte Zahl ist, zweitens, wenn 27c -j-1 zwar 
eine Primzahl, aber k kein Teiler von m ist, dass jedoch 
C“‘ 1 
(21) (— 1)* k - 1 - = (mocl. 2 k + 1) , 
7c (2 7c 4- 1) (2 k) k 2 7c + 1 
wenn 2 & — }— 1 eine Primzahl und k ein Teiler von m ist. Schreibt man daher in (20) — 1 -f- 
statt , so sieht man, dass in dieser Gl. (20) die m te Bernoullische Zahl genau in der Form 
erscheint, welche der v. Staudt-Clausensche Satz für sie vorschreibt. 
Die spezielleren Ausführungen zu dieser Mitteilung nebst den Beweisen sollen in einem grösseren 
Aufsatz an anderer Stelle veröffentlicht werden. Derselbe enthält ausserdem folgenden, im weiteren Verfolg 
der Untersuchung gefundenen Satz, welcher die Umkehr des durch die Gll. (5) und (6) mit verbindendem 
Text ausgesprochenen bildet: 
2 m 
Wenn eine Funktion 2 ( — 1) & 1 b k x k — 1 sich in eine andere von der Form (1 — 2a;) X 
k = 1 
m - 1 
^ ( — 1 ) D h y\ worin y = x (1 — x), umformen lässt, so sind die b k die Initialen der Differenzreihen 
h = 0 
einer arithmetischen Beihe 2 m ten Grades, deren (z -j- l)tes Ghed eine gerade Funktion von z ist. 
Die Voraussetzung dieses Satzes trifft, wie erweislich, für die Bernoullische Funktion zu, 
und in Folge dessen entsteht aus jeder Gleichung zwischen den b k , also aus (7) bis (10) und der nicht 
explicite hingeschriebenen (19) eine Rekursionsformel zwischen den Bernoulli sehen Zahlen. Ein Teil dieser 
Gleichungen ist mit den bereits bekannten identisch, von anderen seien, um zwei Beispiele verschiedener 
Art zu geben, die beiden folgenden angeführt, deren erstere aus (9) für n = 2 und deren andere aus (19) 
für k — m — 2 entsteht: 
(2 m -|- 
2.3.5 
B„ 
B.. 
(2m + 1) 3 + (2m + l) ß =F 
3. 4. 7 4. o. 9 
-j- ( — l)" 1 ” 1 (2m-j- 1) 2m— \ 
B x 
(m -j- 1) (m -f- 2) (2 m -f- 3) 
(m -|- 2) (m -j- 3) (2 m -j- 3) 
= 0 
und 
(*» ~ : )l B m ( w — 1) 3 B m _ j (m — 1) 5 B )n — 2 
m (m — 1) 2m — 1 (m — 1) (m — 2) 2m — 3 (m — 2) (m — 3) 2m — 5 
+ 
\ 
m-\- 1 
i)~ 
(m — 1)„, o 
B, 
m+3 
2 
• • • m ungerade 
(m - l) m _i 
1)2 
(f+Oi 
B, 
f+ 1 
■ m gerade 
m-\- 1 
1 (m — 1) (m — 1) ! 
3 (m -j- 1) (m -f- 2) • ■ • (2 m -(- 1) 
Schriften der Physikal.- Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XLI. 
3 
