( 5 ) 
Da v eine Wurzel der Gleichung (1) sein soll, so hat man 
f(t; oc ) _ f(t; x) — f( v\ x) _ (t — X) ( t — fj. ) _ 
t — v 
“tßtYt 
1 x 2 1 
— — = z—p. 
a t a v a t 
Da andererseits v‘ eine Wurzel der entsprechenden Gleichung — 0 sein soll, so kommt 
genau analog zu (5), wenn die beiden andern Wurzeln von ) = 0 mit X‘,/u‘ bezeichnet werden: 
(5a) 
f(t;x‘ ) ( t — P) (t — , u‘) 
t — v‘ 
a tßtYt 
1 ad 2 
V 
Vermöge (3 a) gehen aber die rechten Seiten von (5), (5 a) in einander über, d. h. es ist X = X‘. 
u = jx‘ und umgekehrt, wenn X = X‘, u — u‘, so folgt wieder | = f ' etc. 
Für einen der Grenzfälle, v = resp. a,ß,y, wo F%(y) in eine der drei (doppeltzählenden) Haupt- 
ebenen x = 0 , y = 0 , 2=0 ausartet, bedarf der Beweis einer Abänderung. 
Sei etwa v = y , so spezialisieren sich die Affinitätsformeln (3 a) in : 
(6) 
(7) 
x 
Cly 1 
= — , = *' = 0. 
y 
y 
V 
Die elliptischen Koordinaten X, fi des Punktes (x,y, 0) sind jetzt die Wurzeln der Gleichung: 
ß i 
X* , y“ 1 
b 1 = — - ix“ 
a t ßt a tßr 
+ y 2 «t- tt tßt) = 
f' (t ' ccO 
Andererseits sind die elhptischen Koordinaten X‘, des Punktes (x‘,y‘,z‘) die Wurzeln von — r = 0. 
t — v‘ 
Man hat aber, indem man z‘ eliminiert: 
f(t;x‘) _ f(t;x‘) f(v‘;x‘) 
YX‘ 
YX‘ 
Yt 
( 8 ) 
somit wegen (6): 
= **(-! i u w J -M-f— -- \ 
\a t y v ‘ y t <*v‘) \ ß t Yv‘ Ytßv‘ ) \Yv‘ Yt) 
fit ; x ‘ ) = 
(9) < 
(* ~ v) { 
( X 1 CCy 
< y ‘* ß Y 
Yv‘ Yt 
: 
•50. 
r 
(< — *'') | 
Yt ' 
y“t 
ßt ) 
( t — v‘) 
a tßtY t 
<x 2 ßt+y 2 {t t— a tßt) 
(t - V 1 ) 
( t — X) ( t — fi) 
a t ßtYt 
womit der Beweis des Satzes, wie seiner Umkehrung, auch in diesem Grenzfalle erbracht ist. 
Die Betrachtungen dieser No. sind unmittelbar auf n Variable ausdehnbar. 
II. 
Aus der Schar (1) werde jetzt irgend ein einschaliges Hyperboloid (v) herausgegriffen, sodass 
also, wenn, wie üblich, a? f> b 2 > c 2 angenommen wird, der Wert von v zwischen c 2 und ß liegt. Die 
Gleichung des Hyperboloides ist dann: 
(10) P + rp - f 2 = 1 , 
