wenn, in leichter Abweichung von (4), gesetzt wird: 
( 11 ) 
\Ja v 
\/ ß V 
s/—Vv 
Die beiden Geradenscharen p = const., q = const. auf (10) erhält man bekanntlich vermöge 
der Formeln: 
y + C 
y-t 
(!2) | 
V ~ > 
1 — 1 
t _ pq— 1 
pg + ! ’ 
5 i- { ■ 
n= p + '‘, 
pq+l 
, _ p — q 
P g+i 
Auf der Fläche betrachte man zwei Punkte P x {x x , y l , z x ) = (p x q) , P s (cr 2 , ?/ 2 , z 2 ) = (p 2 > q) , die 
also auf einer Geraden der Schar q = const. gelegen sind. 
Dann liefern die Formeln (12) ohne Weiteres die folgenden Ausdrücke für die Differenzen 
der f, q, f: 
2 <1(P2 - Pi) 
s 2 
Qh9'+ :1 ) { yP2l+ l ) 
(13) 
(1 — q 2 ) (P -2 — p i) 
(1 -1- ff 2 ) (Pi—Pl) 
(.Pi 3 + 1 ) (pzq -+ !) 
(14) 
Damit ergiebt sich für das Quadrat r 2 der Entfernung zwischen P x und P 2 : 
r 2 = iPa — Pi> 2 
(Pi ff + 1 ) (p -2 g-j- 1) 
0>2— Pl) 2 
(P12+ 1 ) 2 (P2 3+ 1 ) 2 
^ g 2 + fo, ( 1 — q 2 ) 2 — yv (1 + g 2 ) 2 
(l -f- g 4 ) (ßv — yv) + 2 g 2 (2 — ß v — yv) 
Hier sind 
v unabhängig, da: 
(15) 
aber die Koefficienten von 1 — |— g 4 und 2 q 2 innerhalb der geschweiften Klammer von 
ßv — yv = & 2 — C 2 , 2 a v — ß v — y v = (a 2 — ö 2 ) -(- (a 2 — c 2 ) . 
Genau die entsprechende Rechnung gilt, wenn die Punkte P l , P 2 derselben Geraden p = const. 
angehören. 
Geht man nun von einem ersten Hyperboloide (v) der Schar (1) vermöge der Affinitäts- 
relationen (3a), die auch bei der jetzigen Bezeichnung (11) genau ihre Form behalten: 
(3a) S‘ = £, y‘==y, C‘ = C , 
so hat man sich nur noch davon zu überzeugen, dass zwei vermöge (3 a) einander zugeordneten Punkten 
die nämlichen Parameterwerte p, q zugehören. Das geht aber aus den Ausdiüicken (12) für die p, q 
unmittelbar hervor. 
Auf Grund der Relationen (14), (15), (3 a) ist der Smith 'sehe Satz bewiesen: 
I. „Jede geradlinige Strecke auf einem einschaligen Hyperboloide (v) der Schar (1) 
bleibt unverändert beim Uebergange zu irgend einem andern einschaligen Hyper- 
boloide (i'') der Schar, wenn dieser Uebergang vermittelt w r ird durch die Affinität 
(3a), die stets zwei Punkte mit den elliptischen Koordinaten (X, p, v), (X, p, v‘) ein- 
ander zuordnet.“ 
