Der Satz gestattet folgende Umkehrung. 
Man gehe wieder von irgend einer geradlinigen Strecke r der Punkte P 1 (p l ,q) und P 2 (p. 2 , q) 
des Hyperboloides (v) der Schar (1) aus. Die P 2 l 1 -") werde jetzt aber einer beliebigen Affinität von 
der Form: 
^ x‘ = kx , y‘ = Ix , z‘ = mz 
unterworfen. Wie muss die Affinität (16) beschaffen sein, damit jede Strecke r unverändert bleibt,? 
Man schreibe (16) in der Gestalt: 
(16a) 
x — > y = y-T' 
Yv 
sodass (jetzt, ß\ y‘ statt k, l, m in (16) die Rolle der drei willkürlichen Constanten der Affinität spielen. 
Die Punkte P, , P 2 mögen durch (16a) übergehen in P, , P 3 , die Strecke r in die Strecke r ‘ . Dann geht 
der Ausdruck für r ‘ 2 aus dem in (14) angegebenen hervor, sobald man die dort auftretenden a v , ß v , y v 
durch die ß‘, y‘ ersetzt. 
Soll r‘ bei variablem q unverändert bleiben, so müssen die Coefficienten von ( 1 -j- g 4 ) und 2 g 2 
d s. ß‘ — y‘ und 2 «' — ß‘ — y‘ konstant bleiben : 
(17) ß‘- y‘ = c x , 2 «' — ß‘ — y‘ = c 2 • 
Die Konstanten c j , c 2 bestimmen sich sogleich, wenn man zum Ausgangshyperboloid (v) zurück- 
kehrt, nämlich: „ „ 
( 18 ) Cj = b 2 — c 2 , c 2 = (a- — b 2 ) + (a 2 — c 2 ) . 
Die Vergleichung von (17) und (18) lehrt aber sofort, dass: 
(19) a‘ — n 2 = ß‘ — b 2 = y‘ — c 2 , 
oder, wenn man den noch unbestimmten Wert dieser drei Differenzen mit — -v‘ bezeichnet, dass: 
(20) cc‘ — a 2 — v ‘ , ß‘ = b 2 — v 
Der Smith’ sehe Satz (I) lässt demnach folgende Umkehrung zu: 
(Ia.) „Wird ein einschaliges Hyperboloid einer Affinität unterworfen, deren Hauptaxen 
mit den Hauptaxen des Hyperboloides zusammenfallen, und soll vermöge dieser 
Affinität jede geradlinige Strecke auf dem Hyperboloide in eine solche von gleicher 
Länge übergehen, so ist diese Affinität genau die durch (3a) bestimmte, d. h. die- 
jenige, die das Hyperboloid in ein konfokales überführt.“ 
III. 
Man kann die Frage auf werfen, ob die geradlinigen Strecken Pj P 2 auf dem Hyperboloid (y) 
der Schar (1) die einzigen Strecken 1\ P 2 — r sind, die bei der Affinität (3a) unverändert bleiben? 
Es seien also P 1? P 2 jetzt zwei beliebige Punkte (pi, q \) , (p 2 , g a ) des Hyperboloides ( v ), sodass 
gemäss (12): 
( 
l- _ Pi <h — 1 
M Pi <h -1- 1 ’ 
Pi -H <h 
I -i > 
Pi Qi + 1 
- Pi - Qi 
P 1 Q 1+ 1 
(21) l 
t P 2 ( h — 1 
2 " P2 <h + 1 ’ 
_ Pz + äs 
Pi Q2 + 1 ’ 
, Pi ~ Qi 
Da r 2 eine ganze lineare Funktion von v ist, so ist r 2 dann und nur dann von v unabhängig, 
wenn der Coefficient von v verschwindet. 
