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Dieser Coefficient ist, abgesehen vom Vorzeichen: 
fPi <h — 1 Pi <72 - 
2 
l+l 
f Pi + Qi P 2 ■+ Qi \ 2 | 
2 Pi — Ql Pi — Qi \ 
Ipi2l4"l P2?2+l^ 
(Pi <Zi 1 Pi Qi “I - 1/ 
V Pi Qi + 1 P 2 Qi 1/ 
oder, da P v P 2 der Fläche (v) angehören sollen, somit gemäss (1) die Summe der Quadrate in (22) gleich 
L — )— 1 ist: 
(j? 2 g2+i) { { ' Vl ?1+1) [P2q2+1 ^ ~ ^2?2-!) - <JPl+2l) (Pi+Q 2> + (Pl-Ql) iPi~Q‘ 2 ) | 
(22a) | " (y,®+l) 4 ( ft9# -Hj | R * - ft «■ ) 
I _ 4 (jpi - P 2 ) (qi - Qi) _ 
( (JP 1 gH- 1) (i>3 «2+ !) ’ 
Dieser Ausdruck ist dann und dann gleich Null, wenn p { — p 2 resp. q x = q 2 , d. h. wenn P,, P 2 
einer Geraden der Fläche (*>) angehören. Somit gilt: 
(Ib) „Unter allen Strecken P, P 2 , wo P a , P 2 einem einschaligen Hyperboloid der Schar (1) 
angehören, sind die ganz auf der Fläche liegenden die einzigen, die bei der Affinität 
(3a) gleich lang bleiben.“ 
NB. Die Länge r würde auch dann unverändert bleiben, wenn der Coefficient (22) von v un- 
endlich gross wäre; dies tritt nur dann ein, wenn p x q\ -)- 1 = 0 resp. p 2 q 2 4- 1 = 0 , d. h. wenn, im Hin- 
blick auf (21), wenigstens einer der beiden Punkte Pj,P 2 in Unendlichen liegt, also r selbst un- 
endlich gross ist. 
IV. 
Die in II und III behandelten Sätze lassen sich indess fast ohne .Rechnung herleiten, und zwar 
gleich für n Variable x, y, z, ... . und ohne Rücksicht auf die Realität der fraglichen Gebilde. 
Sei die zu (1) analoge konfokale Schar von P 2 vorgelegt: 
(10 
= 0, 
so greife man irgend zwei Individuen (A),(P) heraus, deren Punkte P (x,y, z, ■ .) , P‘ (x‘,y‘, z‘, ■ ver- 
möge der Affinität: 
(30 = — - etc. oder kürzer: £' = f etc. 
«P 
nach dem in No. I erörterten Gesetze einander eindeutig zugeordnet sind. 
Sind wiederum I\ (a 1; y x ,Z\ • •) , P 2 (x 2 , y 2 , z 2 . . .) irgend zwei Punkte der P 2 (X) , r ihre Ent- 
fernung, P x (pc v ?y 1 , z x - . i , P.) (cr 2 , y 2 , % ■ • * zugeordneten Punkte der F 2 (P), r‘ ihre Entfernung, so ist also : 
( 23 ) z = zf x = 1 , = 1 • 
Für die Quadrate der Entfernungen r, r‘ hat man: 
(24) j 
somit wegen (3'): 
r 2 = A (X]_ — cr 2 ) 2 — S «1 (| x — | 2 ) 2 
r' 2 = S( x[ — x 2 ) 2 — Z ai — l 2 ) 2 
r‘ 2 ~r* = ^ («p - «a) (f x - f 2 ) 2 
( 25 ) 
= ( 1-10 z(h-h ) 2 
