und mit Bücksicht auf (23): 
(26) U 2 — r 2 = 2 (V — 1‘) (1 - d | £) . 
Da /' nach Voraussetzung von / verschieden ist, so ist r‘ dann und nur dann gleich r , wenn 
(27) ZSiSt EE = 1 , 
d. h. wenn l\ auf der „Tangentialebene“ von P 2 liegt, oder, was dasselbe ist, wenn die Verbindungsgerade 
t\ P 2 ganz der F t (1) angehört. 
Der Beweis bleibt gültig, auch wenn eine der beiden P 2 > G) , 0-‘) , etwa die letztere, in eine 
„Hauptebene“ z. B. x = 0 ausartet. Man hat nur a)j = 0 d. h. 1‘ — « zu setzen, dann gehen die ent- 
scheidenden Identitäten (25), (26) über in: 
(25a) . r ‘ 2 — r 2 = (I - «) 2(^ - | 2 ) 2 — 2 (A — «) (1 — 2^ | 2 ) 
d. h. das Kriterium für r' = r ist wie oben A lg = 1 . 
Geht man von hier aus zu den gestrichenen Koordinaten d. h. zur „Hauptebene“ x = 0 (1‘ — «) 
über, so reduziert sich diese Bedingung wegen ^ = 0 , | 2 = 0 auf: 
(27 a) 
Vi r l2 J r ‘ = 
Vi Vi 
0 
— u y — u 
d. h. die Strecke r‘ gehört einer Geraden des „Fokalgebildes“ in der „Ebene“ x — 0 : 
*2 
(28) 
an. Es gilt also allgemein: 
r 
ß — « ' y — a 
= 0 
(I‘) „Sind Pj, P 2 irgend zwei Punkte einer P 2 der Schar (1‘), so bleibt die Strecke P 1 P 2 
bei dem mittels der Affinität (3') erfolgenden Uebergange zu einer konfokalen P 2 
der Schar (1) dann und nur dann unverändert, wenn die Gerade P 1 P 2 der ursprüng- 
lichen F 2 ganz angehört. Dies gilt auch dann, wenn die F- 2 in eines der „Fokal- 
gebilde“ der Schar (!') ausartet.“ 
V. 
In demselben Sinne werde die analog zu III erfolgende Umkehrung des verallgemeinerten 
Smith’schen Satzes (I‘) behandelt. 
Seien P t , P 2 irgend zwei Puukte der P 2 : 
(29) 
also für 
(30) 
2£ 2 = 1 , 
= 1 , 2 $ = 1 . 
Die F -2 werde einer beliebigen Affinität unterworfen, deren „Hauptebenen“ die Koordinaten- 
ebenen x = 0, y — 0, • • sind, die man also in die Gestalt setzen kann: 
(3 a') — = — oder kürzer £'=£,•••, 
a a 
wo die ß‘, ■ ■ die willkürlichen Konstanten der Affinität bedeuten. 
Der Affinität (3a‘) werde die Forderung auferlegt, dass sie jede ganz der P 2 angehörende 
Strecke r = P, P a in eine gleich lange Strecke r‘ — Pj P 2 überführt. 
