Diese Forderung nimmt, genau nach dem Vorbild der ersten Gleichung (25) die Gestalt: 
(25a) r‘ 2 — r 2 = Z(a‘- ci) (f 2 — $i) 2 = 0 
an, wo mit Rücksicht auf (30) und die weitere Bedingung: 
(27a) 2 Si h = 1 
zwischen den Quadraten der Differenzen £ s — • die Identität herrscht : 
(31) 2 (f 2 - | t ) 2 = 0 . 
Es ist aber leicht zu sehen, dass die Identität (31) die einzige ist, der die Grössen ?2 — £l > ■ ' ■ ■ 
unterworfen sind. In der That, seien die Grössen: 
(32) A S = - Si , • • • • 
im Uebrigen willkürlich gewählte Grössen, die nur an die eine Bedingung: 
(Bla) ZA'g 2 = 0 
gebunden sein sollen. 
Da wegen (32) ^ - f 2 — A $ ,■■■ , also mit Rücksicht auf (Bla): 
( 33 ) 2g = 2g — 22^AS, 
so wähle man die bisher noch ganz beliebigen Grössen f 2 > • • • • so, dass sie den beiden Bedingungen: 
(34) 2g = 1, 2S a 4S = 0 
genügen, was stets möglich ist, dann ergiebt sich aus (33) von selber für die nach Wahl der A f und 
völlig bestimmten Grössen die Eigenschaft: 
(35) 2g = l. 
Demnach lassen sich bei beliebiger, wenn nur der Bedingung (31a) genügenden Wahl der A f 
noch stets (und zwar noch auf unendlich viele Weisen) Systeme der Grössen f 2 , • • • , f x • • • auswählen, die 
die der Untersuchung zu Grunde gelegten Eigenschaften (30), (27a) besitzen. 
Nun besteht aber der vielfach in der Geometrie verwendete Hülfssatz: 
„Sind ui, m 2 , • • u n ; X\, X 2 , • • • X n zwei Reihen von im Uebrigen unabhängigen Variablen, die 
nur an die beiden Identitäten 
(36) ZuX= 0, ZX = 0 
gebunden sein sollen, so müssen alle u übereinstimmen.“ 
In der That, setzt man den aus ZX = 0 hervorgehenden Wert für X n : 
(37) -X n = Z 1 + X 2 +-- + X f( _ 1 
in Z u X = 0 ein , so geht diese Identität über in : 
(38) (Mi u n ) Xi + (w a — u n ) X 2 -f- • ■ ■ -f (u n __ 1 — u n ) X n _i = 0 , 
wo die Xi, X 2 , ■ ■ X n _ j völlig willkürliche Variable sind. 
Somit müssen alle Coefficienten der Xi, X%, ■ ■ • X n _ i in 38) einzeln verschwinden, d. h. es ist: 
(39) ui = m 2 — • • = u n . 
Umgekehrt, wenn (39) erfüllt ist, reduziert sich die erste der Identitäten (36) von selbst auf die. zweite. 
In dem vorliegenden Falle (25a) ist: 
«1 ==«' — « , m 2 = ß‘ — ß , «3 = y‘— V > • • ' > 
Xi = (l 2 - ^) 2 , X 2 = (v 2 - >h) 2 , Z 3 = (C a - fi) 2 , • • ■ 
somit stimmen die bis dahin wegen Willkürlichkeit der a‘, ß‘, y‘ ■ ■ noch willkürlichen Differenzen «' — a, 
ß‘ — ß , y‘ — y, ■ ■ überein: 
