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(41 I u — u‘ = ß — ß‘ = y — y‘ = • • = 4 , 
wo mit 4 der gleiche Wert der n - Differenzen u — • • bezeichnet sei. 
Damit ist aber nachgewiesen, dass die F 2 (29) vermöge der oben näher festgelegten Affinität 
(3a‘) übergeht in eine konfokale F 2 '■ , 2 
Die Umkehrung des auf n Variable verallgemeinerten Smith’ sehen Satzes lautet demnach: 
(Ia') „Soll eine Affinität, deren Hauptaxen mit den Hauptaxen einer F 2 zusammenfallen, 
die Entfernung zwischen je zwei auf irgend einer Geraden der F 2 liegenden Punkten 
unverändert lassen, so leistet das die und nur die Affinität, die die F 2 in eine irgend 
konfokale F 2 überführt.“ 
VI. 
Wir kommen jetzt zum Beweise des verallgemeinerten Ivorv’schen Satzes und seiner Umkehrung. 
Seien, wie oben, P x , P 2 irgend zwei Punkte einer F 2 (4) der konfokalen Schar (1‘), P[ , P 2 
die vermöge der Affinität (3') zugeordneten Punkte auf einer F 2 (4') derselben Schar, so handelt es sich 
darum, zu zeigen, dass stets: 
( 43 ) P\ ~ ^2 P\ ’ 
wo die horizontalen Striche die bezüglichen Entfernungen bedeuten. Bezeichnet, man diese kurz r x .> resp. 
r 2 v , so hat man : 
r l 2' ~ r l, V = 2 (^1 - “ (*2 ~ x l) 2 
= 2 (x~j — - * 2 ) — — (a"i“ — ajg ) — 2 2 x x x 2 -j- 2 2 x 2 x 1 
(U ) [ = - «4 (l? — 4) ~ “ “ 4 - ( 4 ~ 4 ) — 2 “ \ /n l u ): m 4 + 2 ^V «4 «4‘ h h 
= 2 («4 — «4') ( 4 . — 4 ) 
= (4 1 4) = 0. 
Umgekehrt mögen irgend zwei Punkte einer F 2 { 29) einer Affinität (3 a‘) mit den drei willkür- 
lichen Konstanten a‘,ß‘,y‘ unterworfen werden; wie bestimmen sich die letzteren, damit zwischen P 1 , P 2 
und den vermöge (3a') transformierten Punkten P x . P 2 stets die Relation (43) besteht? 
Man erhält mittels derselben Rechnung wie oben: 
(45) r\ 2 ,-r\ v = *(«-«') («?-«!) • 
Zwischen den Differenzen — 4 besteht, da 2 4 = 1 , 2^=1, die Identität : 
( 46 ) z(4-%) = 0 , 
aber auch keine weitere. Denn seien die 4 — 4 beliebig gewählt mit der einen Beschränkung (46) , so 
folgt aus: 
( 47 ) 24 = 2(4 ~ 4 ) + 24 = 24 ’ 
dass, sobald man die £ 2 beliebig, nur mit der Bedingung 2^=1 annimmt, für die nunmehr völlig 
bestimmten von selbst die Eigenschaft 2 i x = 1 erfüllt ist. 
Auf Grund des „Hülfssatzes“ der No. V hat man also sofort wieder: 
( 48 ) 
