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Somit gilt: 
II. „Sind Pj, P 2 irgend zwei Punkte einer P 2 , Pp P 2 die vermöge der, die F 2 in eine kon- 
fokale P 2 überführenden Affinität transformierten Punkte, so ist stets P 1 P 2 = Po P 1 
auch in dem Grenzfalle, wo eine der beiden P 2 in eine „Hauptebene“ ausartet. 
Umgekehrt werde eine P 2 einer Affinität unterworfen, deren Hauptaxen mit 
den Hauptaxen der p 2 zusammenfallen, und es mögen dabei irgend zwei Punkte 
Pj , P 2 der F -2 in Pp P 0 übergehen. Soll dann stets P 1 P 2 = P 2 Pi sein, so ist die 
Affinität gerade diejenige, die die p 2 in eine konfokade überführt.“ 
VII. 
Den Fragen, die zum verallgemeinerten Smith’schen und Ivory’schen Satze resp. zu deren 
Umkehrung führten, gesellt sich eine weitere von ähnlicher Art zu, deren Beantwortung einen gewissen 
Abschluss in diesem Gebiete herbeiführt. 
Seien wieder P, , P 2 irgend zwei Punkte einer P 2 (29), Pp P 2 ihre vermöge (3 a') transformierten 
Punkte, so soll die Affinität (3a') derart bestimmt werden, dass stets: 
(48) P^=p7p;. 
Bezeichnet man diese Entfernungen kurz mit »-j ,r 2 0 , , so kommt unmittelbar: 
r l t V r 2, 2‘ ~ ^ ( X 1 x l) ‘ ^ (*2 x 2 ) 
= (Acc 2 — ^ cc|) + (Aa)] 2 — Acc 2 ) — 2 2x 1 x[ -f 2 Zx 2 x 2 
= A ß ( f 2 — -f K< ( — iQ — 2 Ay/ß k' «' f 2 
1 = A( s /«-- v /^) 2 (f 2 -|f). 
Da A £ 2 = 1 , A 1 1 = 1, also zwischen den £ 2 — die eine (und keine andere) Identität : 
A (sf — 1 2 ) — 0 besteht, so tritt wieder der Hülfssatz der No. V in Kraft und es wird, wenn die positiven 
Quadratwurzeln aus <-<•••, a ■ ■ , mit resp. bezeichnet werden : 
(50) ( a — a') 2 = {b — F) 2 = (c — c') 2 = • ■ 
d. h. die absoluten Werte der Differenzen der bez. „Halbaxen“ der F., und P 2 sind einander gleich: 
ci‘ == ci X j b 1 == b ~j— fg X , c* === c ”4“ £3 A , • • • 
( f l> f 2> ' ' ' = ± !)• 
Umgekehrt, geht man von einer Affinität (3a') aus, in der die «' = a' 2 , ß‘ = F 2 , y‘ — c' 2 , = • • 
die durch (51) festgelegte Beziehung zu den « = a 2 , ß = & 2 , y = c 2 , • • besitzen, wo 1 einen beliebig aber 
fest gewählten Wert bedeute, so hat man: 
I. i U x\ . , , I Ayl . . . I lz\ 
(52) \x — x\ = |— | , \y — y\ = |^-| , \z‘ — z\ = | — | • • 
also: 
i 4 v = A (w - ay) 2 = A 2 A f 2 = A 2 
(53) 
( r 2j 2 , = A (z 2 — x 2 ) 2 = A 2 A £ 2 = A- 
und es ist demnach die Relation (48) r y v = r 2 2 < erfüllt. 
Schriften der Physika!.- Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XLI. 
