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Somit ist der Satz nachgewiesen: 
III. Sind P 1; P 2 irgend zwei Punkte einer P 2 , und unterwirft man letztere einer Affinität, 
deren Hauptaxen mit den Hauptaxen der P 2 übereinstimmen, wodurch P 1; P 2 in 
Pp Po übergehen mögen, und verlangt man, dass stets P 1 P 1 = P 2 P 2 sein soll, so ist 
die fragliche Affinität gerade diejenige, die die P 2 mit den Halbaxen a, b, c, . . . in 
eine P 2 mit solchen Halbaxen a‘, b‘, c‘ ■ ■ ■ überführt, dass die absoluten Werte 
der Differenzen korrespondierender Halbaxen einander gleich sind.“ 
VIII. 
Wirft man einen Rückblick auf die Sätze der Nummern IV, V, YI, VII, so erkennt man 
sofort, dass die daselbst zu Grunde gelegten Bedingungen zu eng gefasst sind. 
In der That hängen die Beweise der Sätze (I) in No. IV. V. ausschliesslich von der Bedingung 
A(| x — 1 2 ) 2 = 0 ab, die im Besonderen dadurch erfüllt war, dass einzeln Aq = 1, A£ 2 =l, Af 1 £ 2 =l 
stattfand, d. h. dass die Gerade P 1 P 2 ganz der P 2 angehörte. Die Bedingung A — £2)2 = 0 sagt aber 
im Allgemeinen aus, dass die Gerade P x P 2 parallel zu einer Geraden der P 2 „A£ 2 = 1", oder was auf das- 
selbe hinauskommt, parallel zu einer Asymptote der p 2 sein soll. Also gilt: 
Die Sätze (I) der No. IV, V bleiben giltig, wenn von der Strecke P x P 2 auch nur 
verlangt wird, dass ihre Richtung die einer Asymptote der bez. P 2 sein soll“. 
In gleicher Weise hingen die Beweise der Sätze (II), (III) der No. VI, VII von der Bedingung 
A|^ = A£ 2 ab, die im Besondern durch A|^ = 1, A£? = 1 erfüllt war, d. h. dass die Punkte P v P 2 
überhaupt der P 2 : — '£ 2 = 1 angehörten. 
Soll aber überhaupt nur A£? = A£ 2 = k sein, so sagt das aus, dass Pj,P 2 einer auf die 
P 2 : A£ 2 — 1 affin bezogenen, ähnlichen und ähnlich gelegenen P 2 angehören: 
„Die Sätze (II), (III) der No. VI, VII bleiben giltig, wenn von dem Punktepaar 
Pp P 2 auch nur verlangt wird , dass es einer auf die vorgelegte P 2 affin bezogenen, ähnlichen 
und ähnlich gelegenen P 2 angehört.“ 
IX. 
Wir stellen uns jetzt auf einen etwas umfassenderen Standpunkt, indem wir überhaupt nach 
allen Kollineationen fragen, die die in den Nummern IV bis VIII erörterten Eigenschaften besitzen. 
Beim Smith’schen Satze und seiner Umkehrung blieb eine, einer vorgelegten P 2 ganz an- 
gehörende Strecke r = L\ P 2 bei einer gewissen Affinität (3a) invariant. Nun bleibt bekanntlich jede 
Strecke des n - dimensionalen Raumes bei den und nur den Kollineationen invariant, die eine „erweiterte 
Bewegung“ des Raumes darstellen, d. h. entweder eine gewöhnliche Bewegung, oder aber eine solche, mit 
einer Umlegung um irgend eine der Koordinatenaxen kombiuierte Bewegung, in Formeln: 
x' = a n x + a V2 y+ a 13 z- | b«i, » + 1 
y‘ = a 21 x-\-a 22 y- J t-a 23 z + -- +a 2 ,»+ 1 
z‘ = a 31 x + a 32 y + a 33 z + ■ — b H, » + 1 
wo die Bedingungen erfüllt sind: 
H i ~b + a 3 i “b • • ~b a n i — 1 ’ * — 1 , 2 , ■ • w , 
«l.- ffl n + a 2.«2*-b a 3t°3f ■ + a ni a nk = °> /* == ^ 2 ' ' n \ 
f k = 1, 2 • • n I 
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