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Somit bleibt offenbar die Eigenschaft P 1 P 2 = P x ' P 2 ‘ der No. IV, V erhalten, wenn man die 
Affinität (3 a) mit der allgemeinsten erweiterten Bewegung zu einer allgemeineren Affinität zusammensetzt, 
die also aus (54), (55) hervorgeht, wenn die x, y, z, . . noch mit den bez. Faktoren 
versehen werden. 
V-’ V -.]/-• 
r Up r ß v r y v 
Es soll umgekehrt nachgewiesen werden, dass es ausser diesen allgemeineren Affinitäten keine 
andern Kollineationen giebt, die die in Rede stehende Eigenschaft r = r‘ besitzen. 
Zunächst ist es einleuchtend, dass eine Kollineation mit der Eigenschaft r = r‘ nur eine Affinität 
sein kann, d. h. dass die x‘ ■ y‘ ■ z‘ ■ •, wie in (54), ganze lineare Funktionen der x, y, z, ■ ■ sein müssen. 
Bedient man sich der Abkürzungen x 2 — x 1 = zfx, y 2 — y r — <dy, z 2 — z x = Jz, ■ ■ ■ ; 
x 2 — %i = zl x , y 2 — Vx = 4y , z 2 — = dz ■ ■ ■ , so nimmt die Forderung r‘ = r zunächst die Gestalt an : 
(56) Z(Jx) 2 — Z(/dx') 2 = A\fl u zlx + a\ 2 ^y -f- «13 dz -f- • • -) 2 
= Zu (z/£) 2 C<*i i H- «i j. — J— «3 1 -f- * ■ -f- CL„ i) 
-f- 2 Z \/ u ß z/ £ z/ t] («]. i (i\ 2 «21 «22 ~j~ ' ' “f~ 1 «n 2)* 
Den V f ist die einzige Beschränkung: 
(57) Z(z/i) 2 = 0 
auferlegt. 
Sei die vorletzte resp. letzte der Grössen £, 17, C, ■ ■ mit / resp. « bezeichnet, die zugehörige, 
den u, ß, y ■ • entsprechende Grösse mit q resp. <r, so setze man den aus (57) hervorgehenden Wert von (z/w) 2 : 
(57 a) (z/w) 2 = — (z/£) 2 — (z/i;) 2 — (z/f) 2 — • ■ • — {zl/f 
in (56) ein. Da dann die Relation (56) für alle Werte der z/f, z/ 17 , •• /ly identisch erfüllt sein muss, 
also die Koeffizienten von (z/£) 2 , (z/17) 2 , ■ • (z/^) 2 ; z/|z/ 17, z/£z/£, • • • z/|z/w, z/i)z/£, • • z/?)z/w, • • • einzeln 
verschwinden müssen, so hat man: 
I « («H + «21 + • • + «n 1 1) — « («i „ + «2« + • • • + a nn ~~ 1 ' 
(58) 
ß («12 ""t - «22 
+ ««2 ~ ' !) — a («1« + «2 n ' 
+ «' 
nn 
o 
— 1 ) = 0 
a («'l n ■ 
£* («1, » — 1 + «2, » — l4 ] T a n,n-l~ 1 ^ 
a U a lk + a 2i a 2Tc~\~ ‘ ’ ’ “t" a ni a nlc = 0, (i, k= 1, 2 
oder, wenn r einen beliebigen Parameter bedeutet: 
2 ,2,2. | 2 il r «+' 
a n + «21 + «31 H r «Hl — 1 + — — ~ 
«2 n~\ 1“ «HM 
n, i =Js-A), 
1) — 0 
(58 a) 
2 I 2 , 2 I I 2 1 I 1 _ 
«12 + «22 + «32 H r «h2 — 1 + — ' 
n , n — 1 
«ln 
4 - «9 
2 
«2 i 
«3, 
- 1 H 1“ «H, H - 1 — 1 + 
■ w «: 
= i + 
+ «3# 
«1* «U- + «2i «2 k h «», «„* = 0 (i, Ä = 1, 2 , • n , i =}r k) . 
Das sind aber gerade die Relationen (55), sobald man in (54) die x, y, z, ■ ■ durch x 
ersetzt. Damit ist also bewiesen: 
l//3+ T 1 / Y + 
v V —ß~' ‘V ~y 
V 
u -j- . 
„Man erhält die Gruppe aller Kollineationen, die die dem Smith’schen Satze 
zu Grunde liegende Eigenschaft P 1 P 2 = P x P 2 besitzen, wenn man die Gruppe der 
Affinitäten (3a) mit der gemischten Gruppe (54) (55) der erweiterten Bewegungen zu- 
sammensetzt.“ 
