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x. 
Die entsprecheude Frage werde jetzt für den Ivory’schen Satz (No. VI.) erörtert. 
Zunächst ist leicht zu sehen, dass, wenn eine Affinität (54) die Eigenschaft P, P‘, = P, P x für 
zwei behebige Punkte P 1} P 2 besitzen soll, die freien Glieder a l nJt _ x , a 2 ,»+i’ ' • «„ „_|_i verschwinden müssen. 
Demi gesetzt, eine Affinität (54) ohne freie Glieder habe die Eigenschaft: 
(59) 2 (4- *i) 2 = - (®2— 4) 2 - 
und man ersetzt jetzt die x‘, y‘, z‘ ■ ■ ■ durch x‘ +- ai, b + i, y‘ -f- a 2 n _)_i , z‘ -f- « 3 n ^.x , . . . , so führt (59) zu 
der für alle Werte der Ax, Ay, 4z, ■ ■ gültigen Identität: 
(60) 2 (a x -j- n _|_i) — z(a x m ]_) 
die sich sofort auf die andere reduziert: 
(61) 2Axa y )W + i = ° 
d. h. es ist a Un + 1 = a 2) » + i = • • • = «», » + i ='°- 
Von den n Hauptaxen der Affinität (54) ohne freie Glieder, die alle durch einen und denselben 
Punkt 0 gehen, greife man irgend eine heraus, und wähle auf ihr P, = P y - 0 , dann müsste für jeden 
Punkt P 2 der Axe 0 P 2 = 0 P 2 sein. Dann reduziert sich aber bekanntlich die fragliche Affinität auf die 
Identität resp. auf eine Umlegung, d. h. man hat: 
(62) x ‘ = s l x, y‘ = c^y, z‘ = t s z,- ■ 
wo die t den Wert der positiven oder negativen Einheit haben. Somit gilt: 
„Bei beliebigen Vorzeichen der in der Affinität (3a) auftretenden Quadrat- 
wurzeln erhält man alle Kollineationen , die die Eigenschaft P 1 P„ = P 2 Pj des Ivory’schen 
Satzes besitzen.“ 
XI. 
Um endlich auch die analoge Frage für den Satz (III) der No. VII zu beantworten, hat man 
nur zu berücksichtigen, dass bekanntlich jede Kollineation, für die alle Strecken P P‘ eine konstante 
Länge haben, eine Translation ist: 
„Man erhält alle Kollineationen, die die Eigenschaft des Satzes (III) besitzen, 
wenn man die gemischte Gruppe der Affinitäten (52) mit der Gruppe der Translationen 
zusammensetzt.“ 
XII. 
Von den bisher behandelten Sätzen steigt man zu höheren auf, wenn man die mit den Eigen- 
schaften I resp. II und III verknüpften Bedingungen A — fj ) J = 0 resp. 2 ( ^ — if ) == 0 durch all- 
gemeinere ersetzt. 
Im Falle I seien die ==—••• , & = — ■ ■ an die eine behebige, in den A $ = £, — 
a “ a 
homogene Gleichung: 
(63) VS) = 0 
gebunden. 
Vermöge der Substitutionen: 
(64) {A £) 2 = X, 
geht (63) über in eine in den o homogene Gleichung: 
(63a) F(X) = 0 
