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und rückwärts kann man wieder von einer beliebigen 1 ) Gleichung (63a) mittels (64) zu (63), zurückkehren. 
Da dann in der die Eigenschaft I repräsentierenden Gleichung (25a): 
(25a) 2 («' — a)J f) 2 = 2 («' - «) X = 2ÜX = 0 
die Yariabeln X der einzigen Bedingung (63a) unterliegen, so hoben die 77=«' — « der sogenannten 
„Beziprokalgleichung“ von (63a): 
(64) ( U) EE <#> («' — «) = 0 
zu unterliegen (und umgekehrt). 
Die Bedingung (63a) sagt geometrisch aus, dass die Gerade ki | 2 einer Erzeugenden des Kegels 
(63a) parallel ist. Im Besonderen kann man die Punkte k% der Bedingung unterwerfen, irgend einer 
„Fläche“ 1 anzugehören, für die der vom Anfangspunkt ausgehende Asymptotenkegel mit (63a) übereinstimmt: 
dann imd nur dann, wenn die Gerade k t | 2 die Dichtung einer Asymptote der Fläche besitzt, ist die 
Eigenschaft I erfüllt. 
OC ' 1 
Die zugehöidgen Affinitäten erhält man durch Kombination der Gleichungen (3a‘) — = — , oder 
was dasselbe ist, von: 
(3a) « 1^ = «' — ce , 
mit (64) d. h. die Parameter der Affinität (3a‘) sind an die Bedingung: 
(64a) 
gebunden. 
= 0 
Denkt man sich die U — «' — « vermöge der Gleichung (64) <#> (U) — 0 explizite durch n — 1 
Parameter X, X v X 2 , ■ ■ X n — 2 dargestellt: 
(65) U = «' — n == X(p (X i , X 2 , ■ ■ X n — 2 ) , 
so erscheinen die in Rede stehenden Affinitäten (3a') in der Gestalt: 
( 66 ) 
OC' A 
— = 1 — I W (II , X 2 , • • Xn — 2 ). 
x a 
Der bisher behandelte Spezialfall A’(z/£) 2 — 0 ist insofern ein singulärer, als sich bei ihm 
und nur bei ihm 2 ) die Funktionen </> in (66) auf die Einheit resp. auf Konstante reduzieren. 
Aehnliches gilt von den Eigenschaften II, III. Es mag die Betrachtung der ersteren genügen. 
Man ersetze die Bedingung A(|g • — if) = 0 durch die allgemeinere (homogene): 
(67) F(i l - $ = 0 , 
oder, wenn man: 
( 68 ) kl - = Y 
setzt, durch : 
(67a) _F(Y) = 0 . 
Dann führt die Gleichung (44) zu: 
(69) 2(a‘ — a)Y = 2 TJX = 0 , 
und die U genügen wiederum der Beziprokalgleichung (64). 
1) Es sei z. B. F(X) = 0 die Gleichung eines behebigen Kegels 3. Ordnung (mit der Spitze im 
Anfangspunkt): fasst man dann diesen Kegel als Asymptotenkegel einer beliebigen Fläche 3. Ordnung auf, 
so führt die Beziprokalgleichung des Kegels zur Uebertragung des Smith’schen Satzes auf Flächen 3. Ordnung. 
2) Der in Bede stehende Spezialfall kann aber auch in der Form: [1£(D|) 2 J» = 0 auftreten. 
Der einfachste Fall, n = 2, entspricht einer Fläche 4. Ordnung mit Doppelkegelschnitt im Unendlichen. 
Bringt man umgekehrt F(X) auf die Form 2AX 2 , so kann man unmittelbar die früheren Formeln 
anwenden. 
