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Prof. Guido Fubini 
[Memoria IV.] 
corrispondere dei gruppi di trasformazioni conformi, anzi di puri 
movimenti per spazii, che però non sono più, come 1’ euclideo, 
a curvatura costante. 
L’ introduzione di queste nuove metriche è tutt’ altro che 
una cosa semplicemente formale : essa permette di ricorrere al- 
1’ intuizione ed ai procedimenti della geometria per risolvere una 
questione algebrica. In un’ ultima parte del presente lavoro fac- 
cio sommariamente lo studio delle forme Hermitiane e delle pro- 
prietà fondamentali delle metriche e dei gruppi corrispondenti , 
di cui qualche caso particolare soltanto fu finora studiato. La 
teoria dei gruppi discontinui viene così estesa in nuovi e gene- 
ralissimi campi. 
§ 1. — Consideriamo in uno spazio ad un numero qualunque 
m di dimensioni un gruppo di trasformazioni conformi, di cui 
nessuna infinitesima ; come sappiamo per un noto teorema di 
Liouville tali trasformazioni per in > 2 non sono che prodotti 
di movimenti e di inversioni per raggi vettori reciproci; se m = 2 
noi ci restringeremo alla considerazione delle trasformazioni con- 
formi di questa natura. Come è ben noto dal caso di in = 2, 
può darsi che un tal gruppo sia impropriamente discontinuo ossia 
che nell’ intorno di ogni punto esistano coppie equivalenti di 
punti; è però chiaro che se noi immaginiamo il gruppo operante 
non sui punti dello spazio ma su altre varietà convenientemente 
scelte come elementi generatori dello spazio, allora il gruppo 
diventerà propriamente discontinuo, ossia trasformerà una ge- 
nerica di queste varietà in un’altra varietà a distanza finita da 
quella. Così p. es., come noi dimostreremo in generale, ogni grup- 
po di trasformazioni conformi, di cui nessuna sia infinitesima 
opera in modo impropriamente discontinuo nello spazio, quando 
per esempio si prendano come elementi generatori di questo an- 
ziché i punti di esso , le sue sfere oppure le coppie de’ suoi 
punti. 
Possiamo anche generalizzando un noto artifìcio di Poincaré, 
