4 
Prof. Guido Fubini 
[Memoria IV.J 
strato che il nostro gruppo (che per ipotesi non ha trasforma- 
zioni infinitesime) è propriamente discontinuo, quando lo si con- 
sideri operante sul semispazio S m+1 ; di più, poiché ad una geo- 
detica od a un iperpiano di JR corrispondono rispettivamente 
nel nostro semispazio un cerchio od una ipersfera che tagliano 
ortoganalmente jS m in una coppia di punti o in una ipersfera e 
viceversa, ne verrà pure dimostrato che il nostro gruppo opera 
in modo propriamente discontinuo anche in , purché si pensi 
S m come luogo delle sue sfere oppure come luogo delle coppie 
de’ suoi punti. Se anzi noi pensiamo lo spazio P generato dai 
suoi piani anziché dai suoi punti, possiamo dire che in sostanza 
1’ artifìcio di Poincaré si riduce a considerare S m come luogo 
di sfere; osservazione questa, che mette il suddetto artifizio 
sotto una nuova luce e ne fa vedere meglio 1’ intima essenza. 
Viceversa a ogni gruppo discontinuo di movimenti di uno 
spazio a curvatura costante si può nel modo succitato far cor- 
rispondere un gruppo di trasformazioni conformi per uno spazio 
euclideo ; nei primi paragrafi seguenti ci volgeremo allo studio 
di tali gruppi di movimenti, dedicandoci anzitutto allo studio dei 
singoli movimenti, o in altre parole allo studio delle proiettività 
che lasciano fìssa una quadrica. 
§ 2. — Sia z'i — h b ik z k (i, li — 1, 2,... ri) una proiettività P 
che lasci fissa una forma quadrica Q non degenere a n variabili 
e sia + 1 il suo determinante | b ik |. Come è ben noto 
I b ifc — e.ft p I — 0 
dove e ik è uguale a uno oppure nullo, secondo che i , le sono 
uguali o no tra di loro , è la cosidetta equazione caratteristica 
della proiettività stessa. A ogni radice p t di questa equazione 
corrisponde uno spazio lineare di punti che la proiettività lascia 
fìssi, spazio definito dalle equazioni 
Pi Zi = £ b u . z, c (v, fc = l, 2, . . . . n). 
h 
