Sulla teoria delle forme quadratiche tiermitiaue eco. 
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2 a ik z'i z k — 1 a ik z ( z h ; sostituendo per z \ , z k i loro valori , ri- 
cordando clie P è ridotta a forma canonica e confrontando i 
coefficienti di z h nei due membri, troviamo b ih = i) ossia il 
punto che ha nulle tutte le coordinate eccetto la s i e quello che 
ha nulle tutte le coordinate eccetto la z,. sono coniugati rispetto 
alla quadrica Q= 0, pur giacendo, come sappiamo, ambedue 
sopra Q=() . Ora se p , a sono reali, questi due punti, come già 
osservammo, sono reali ; se p, a sono immaginarie, essi si posso- 
no supporre immaginarii coniugati ; in ogni caso dunque la 
retta che li congiunge è reale ; per un ragionamento già usato 
essa dovrebbe giacere su Q — 0 ciò che è assurdo. 
Se V equazione caratteristica ammette radici reali distinte da 
± 1, e perciò ne ammette una coppia , queste non soltanto sono 
generali ma anche sono semplici , ossia ad ognuna di esse corri- 
sponde un solo punto lasciato fisso da P. 
Infatti per il teorema precedente una radice reale differen- 
te da + 1 è generale ; ossia se essa è /r, upla le corrisponde uno 
spazio lineare, lasciato fìtto da P a k — 1 dimensioni che gia- 
cerebbe su Q = 0, E poiché Q =- 0 non contiene spazii lineari 
alo più dimensioni, è /»• — 1. 
Se il determinante della Pè + l ( — 1) le radici uguali a — 1 
sono in numero pari ( dispari ) ; le radici uguali a | 1 sono in 
numero pari o dispari secondo che il numero delle variabili è pari 
o dispari ( dispari o pari ). 
Infatti il prodotto di tutte le radici è uguale evidentemente 
al determinante della forma ; ora per i teoremi precedenti il 
prodotto di tutte le radici differenti da + 1 è uguale all’ unità; 
quindi le radici uguali a — 1 sono in numero pari o dispari 
secondo che il determinante è -j- 1 o — 1 ; la seconda parte del 
teorema enunciato resta allora evidente, perchè il numero to- 
tale delle radici è uguale al numero delle variabili, le radici 
immaginarie sono (come si sa dalla teoria generale delle equa- 
zioni algebriche a coefficienti reali) in numero pari e le radici 
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