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Prof. Guido Fubini 
[Memoria ]V.J 
gruppo discontinuo non possono esistere trasformazioni ellittico- 
iperboliche, di cui sia infinitesima la parte iperbolica (ossia che 
le due radici reali distinte siano infinitamente poco differenti 
dall’ unità). 
Da tutto questo si deduce che dato un gruppo discontinuo 
nessuna trasformazione 8 del gruppo può portare un punto JL 
in un punto A' infinitamente vicino , eccettuato il caso che 8 
sia ellittica e A sia un punto vicino infinitamente allo spazio 
assiale di 8, ossia a quello spazio lineare lasciato fisso da 8 , le 
cui equazioni si ottengono uguagliando a zero le variabili corri- 
spondenti alle radici complesse dell’equazione caratteristica di 8. 
Se dunque un gruppo discontinuo non fosse propriamente 
discontinuo p. es. nella regione B interna alla quadrica Q — 0, 
vorrebbe dire che nell’ intorno di ogni punto di B passerebbero 
spazii assiali di trasformazioni ellittiche del gruppo. In una re- 
gione B di B a distanza finita dalla quadrica Q— 0, questi 
spazii formerebbero un insieme ovunque condensato. 
Siccome il numero delle dimensioni di uno di questi spazii 
non può presentare che un numero finito di casi (dovendo es- 
sere minore di n — 1) esisterebbe almeno un pezzo B' di B', in 
cui gli spazii assiali a A- dimensioni (dove A- è un numero mi- 
nore di n — 1) delle trasformazioni ellittiche del nostro 
gruppo formano un insieme ovunque condensato. 
Per noti teoremi della teoria degli insiemi esisteranno per- 
ciò due di tali 8 K vicini a piacere ; siano u, v le trasformazioni 
ellittiche corrispondenti ; v~ l uv e u sarebbero trasformazioni 
ellittiche distinte con gli spazii assiali infinitamente vicini e 
con le stesse radici dell’ equazione caratteristica, quindi v^uvir 1 
sarebbe infinitesima. Dunque : 
TJn gruppo di proiettività reali trasformante Q in se stesso, 
se è discontinuo, è propriamente discontinuo. 
Le stesse dimostrazioni usate finora ci dimostrano che se 
Q è una forma definita, non esistono che proiettività ellittiche 
e che affinchè una di esse sia contenuta in un gruppo discon- 
