22 
Prof. Guido Fubini 
[Memokia IV.] 
Studiamo dunque il caso che la metrica sia iperbolica e 
precisamente esaminiamo il comportamento del gruppo sulla qua- 
drica Q — 0. Ciò ha uno speciale interesse, perchè se noi im- 
maginiamo rappresentato conformemente il nostro spazio su un 
semispazio euclideo, la Q = 0 viene rappresentata sull 1 iperpia- 
no limite e il nostro gruppo diventa su un tale iperpiano un 
gruppo conforme: lo studio nostro coincide con lo studio dei 
gruppi conformi. Si può dimostrare quasi come per n — 4 che : 
Il gruppo è impropriamente discontinuo o su tutta la varietà 
Q — 0 a « n — 2 » dimensioni oppure soltanto su varietà Y su- 
bordinate a non piu che « n — 3 » dimensioni. Yel secondo caso 
queste varietà Y dividono la quadrica Q in una, o in due , o in 
infinite porzioni su cui il gruppo e propriamente discontinuo. Que- 
sto secondo caso, che è V unico che dia origine a gruppi conformi 
propriamente discontinui è caratterizzato dal fatto che un poliedro 
generatore del gruppo o ha qualche faccia su Q — 0 o ha qualche 
porzione esterna alla quadrica Q = 0. 
La rappresentazione del nostro spazio su un semispazio 
euclideo è però utile anche nel caso che sull’ iperpiano limite 
(su Q =■ 0) il gruppo operi in modo impropriamente discontinuo 
per una migliore visione delle proprietà del gruppo ; in tal caso 
ancora il campo fondamentale si può limitare con sfere e piani 
normali al piano limite. E, quando è possibile, è utile anche 
qui 1’ ampliamento del gruppo aggiungendo al gruppo una in- 
versione per raggi vettori reciproci. 
Y eniamo ora alle applicazioni aritmetiche. Sia Q — 0 una 
forma del tipo iperbolico a coefficienti intieri. 
Si cerchino tutte le proiettività a coefficienti interi che la 
trasformano in se. Esse formano evidentemente un gruppo non 
contenente alcuna trasformazione infinitesima e perciò certamente 
propriamente discontinuo per i nostri teoremi. Si potrà per esso 
costruire un poliedro fondamentale corrispondente o col metodo 
testé svolto oppure col metodo cui ora noi accenneremo. ‘Con- 
sideriamo cioè oltre alle proiettività di prima specie trasformanti 
