Stilla teoria delle forme quadratiche Eermitiane ecc. 
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di una forma quadratica ; noi vogliamo ora considerare altre me- 
triche, che ci saranno pure di grande importanza. 
Sia un spazio $, a v — ... n m dimensioni, dove 
n x , w 2 , . . . , n m sono m numeri (m > 2) interi non minori di 2. E ne 
siano xf xf .... x$ (i = 1, 2,...., m) le coordinate di un punto 
generico. Consideriamo ora m spazii G® G^ a % , n 2 , .... n m 
dimensioni; e siano xf ... x® le coordinate in 8 ( £ . A ogni pun- 
to di 8 corrisponderà un punto in ciascuno degli spazii /S {{) ; e 
viceversa, preso un punto in ciascuno degli spazii 8 {i) , ne risul- 
terà definito un punto di . In ciascuna degli spazii /S rC ' :) (che 
diremo spazii parziali) definiamo una metrica euclidea oppure 
ellittica (di Biemann) oppure iperbolica (di Lobacevskij) in modo 
però che non in più che uno di essi viga una metrica euclidea. 
Avrà così un significato ben preciso la parola : « distanza di due 
punti » in uno di questi spazii parziali. Siano ora A , B due 
punti di 8 e siano A (t) , B {i) i corrispondenti in 8 {i) , di cui in- 
dicheremo con A (i) B (i) la distanza. Noi per definizione assume- 
remo come distanza A B dei punti A, B la quantità definita 
da : 
AB 2 = S ( A U) B U) f 
i=i 
Chiameremo movimenti dello spazio 8 quelle trastormazioni 
biunivoche di 8 in sè stesso, che conservano le distanze di due 
punti quale si vogliano. È ben chiaro che data una trasforma- 
zione di ciascun 8® in sè stesso ne viene definita una trasfor- 
mazione di 8 in sè. E pure chiaro che se noi in ciascun 8 {i) 
prendiamo una trasformazione biunivoca che sia per lo 8 {i) cor- 
rispondente un puro movimento , ne sarà definito in 8 un mo- 
vimento ; il teorema reciproco non è però vero ; perchè se p. es. 
due degli 8® p. es. 8 m , 8 {2) sono a un ugual numero di dimen- 
sioni (ossia % = n 2 ) e vige in essi una stessa metrica lo scam- 
biare le afp con le xf> corrisponde a un movimento in (8j. Però 
noi possiamo dimostrare il seguente teorema : Se noi in 8 con- 
