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Prof. Guido Pubbli 
[Memoria IY.] 
sideriamo soltanto quei movimenti che formano un gruppo con- 
tinuo generabile da trasformazioni infinitesime, allora essi si pos- 
sono tutti generare mediante trasformazioni di ciascun 8 (r) in sè 
stesso, che per lo 8® corrispondente sono puri movimenti. 
Questo teorema che rientra per così dire nella teoria diffe- 
renziale dei nostri spazii sarà da noi dimostrato più tardi; e noi 
ce ne serviremo per definire come movimenti di 8 soltanto ap- 
punto quelli che si possono generare come abbiamo teste detto. 
Così pure dimostreremo più tardi che il nostro spazio 8 
ammette per elemento lineare una forma differenziale quadra- 
tica, che le geodetiche di 8 hanno per corrispondenti su 8 {t) ap- 
punto le geodetiche di 8® ecc. 
Per proseguire più spicci , noi lascieremo ora queste pro- 
prietà secondarie e, basandoci sul significato più ristretto dato 
da noi alla parola « movimenti » dimostreremo che anche per 
i nostri spazii vale il teorema : 
Un gruppo G discontinuo di movimenti ( ossia senza trasfor- 
mazioni infinitesime ) è propriamente discontinuo ossia ammette un 
campo fondamentale. 
Infatti ogni movimento il/ di G è per l’ipotesi fatta prodotto 
di m movimenti, il/ (1) , il/ (2) ,..., M {m) in ciascuno degli $ (1) , 8 {2) .... S {m) 
parziali. Se G non fosse propriamente discontinuo, ogni punto 
A di 8 sarebbe infinitamente vicino a coppie di punti equiva- 
lenti. Un tal punto A determina m punti J_ (1) ;, ZL (2) ,.... A {m) ne- 
gli m spazii parziali. Se nell’intorno di A esistono punti equi- 
valenti ciò per i teoremi già svolti significa che un certo nu- 
mero dei punti A (i) , p. es. J. (1) fiL (2) ,.... , A (ft) sono infinitamente 
vicini agli spazii assiali ,? (1) , s {2 \ .... , s w di k movimenti ellittici 
J/ (1) , J/ (2) ,.... , M M nei singoli spazii parziali corrispondenti a 
uno stesso movimento M di G , mentre i residui movimenti 
M {k+1) , .... corrispondenti a M sono infinitesimi. Di più è 
A; > 0, perchè nessun movimento M di Gè infinitesimo. E per 
1’ ipotesi fatta per ogni punto A di S si deve presentare uno di 
questi casi. Osserviamo però che i casi distinti possibili sono in 
