Stilla teoria delle forme quadratiche Uermitiane eee. 
già si vede come in una teoria delle forme quadratiche in campi 
algebrici generali si può presentare il caso che il gruppo ripro- 
duttore di una forma quadratica Q x non sia discontinuo, mentre 
invece se noi consideriamo contemporaneamente i gruppi G f ri- 
produttori di più forme quadratiche Q l (J 2 Q m e ne combi- 
niamo in un modo opportuno le trasformazioni A* , può darsi 
che si ottenga un gruppo G discontinuo. Se noi ora osserviamo 
che ogni trasformazione A,- lascia fissa la forma quadrica <J t , 
potremo concluderne, se le forine considerate sono tutte ellit- 
tiche o iperboliche, che ogni trasformazione A,- si può considerare 
come un movimento di uno spazio riemanniano o iperbolico e 
che quindi il gruppo G è uno dei gruppi considerati nelle ul- 
time pagine. E si ha così il teorema : 
Il gruppo discontinuo G è propriamente discontinuo; per 
esso si potrà quindi costruire un poliedro normale limitato da 
superficie del tipo della pag. 33. 
È questo il risultato fondamentale delle nostre ricerche geo- 
metriche : di accertare cioè 1’ esistenza dei nostri poliedri nor- 
mali, di indicare la natura delle loro faccie e di dare il mezzo 
per costruirli. 
E anche qui la costruzione dei nostri poliedri ci dà il mez- 
zo più diretto per risolvere per i nostri sistemi i problemi fon- 
damentali dell’ equivalenza. 
Se noi ci riferiamo p. es. all’esempio testé citato delle for- 
me coniugate Q 1: Q 2 ,..., Q m e se vogliamo riconoscere se esso 
è equivalente a un altro sistema analogo di torme coniugate 
Pi, P 2 ,..., JP m o in altre parole se esiste una trasformazione a 
coefficienti intieri nel solito campo che porti i 11 P x (mentre 
le trasformazioni coniugate portano Q 2 in P 2 , Q s in P 3 ecc.) ba- 
sterà costruire in modo analogo i poliedri fondamentali dei gruppi 
K riproduttori dei due sistemi e vedere se esiste una tra- 
sformazione T del tipo voluto che li porti l’uno nell’altro, e clic 
nello stesso tempo trasformi le sostituzioni generatrici di H de- 
terminate dal corrispondente poliedro nelle sostituzioni genera, - 
Aiti Acc. Serie 4", Voi.. XVII — Meni. IV. 
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