34 
Prof. Guido Fvbini 
[Memoria IV. | 
trici di K determinate pure dal poliedro corrispondente. Tutte 
le altre trasformazioni die portano le nelle P ; si otterranno 
moltiplicando T per le operazioni del gruppo K. 
Tralasciando altre facili considerazioni sui gruppi fin qui 
studiati, enuncierò ancora soltanto che i nostri gruppi hanno 
importanti applicazioni funzionali ; a queste specialmente inte- 
ressanti per la teoria delle funzioni autom orfe a più variabili, 
dedicherò una prossima nota. 
Osservazione. — Dimostrerò sommariamente i teoremi enun- 
ciati senza dimostrazione nelle precedenti pagine del presente 
lavoro a proposito della teoria differenziale dei nostri spazi 
Una linea l di $ v è definita dando le linee 7 m corri- 
spondenti sui varii spazii parziali. Sia data una linea qualsiasi 
congiungente due punti A, B ; e siano ds { , ds 2 ,...., ds m gli ele- 
menti di archi delle linee corrispondenti sugli spazii parziali. 
La lunghezza della linea data sarà per definizione 
Essa sarà evidentemente minima se le linee l if l m so- 
no geodetiche. Perciò una geodetica generale del nostro spazio 
$ v ha per corrispondenti delle geodetiche sugli spazii parziali. 
E di più la distanza di due punti A , B da noi definita coin- 
cide evidentemente con la distanza dell 1 arco geodetico che li 
congiunge. Ciò che si potrebbe anche verificare facilmente stu- 
diando F elemento lineare ds 2 dei nostri spazii. Se le x {l) sono 
coordinate Kieinanniane nel corrispondente spazio si ha nel 
caso che nessuno degli spazii parziali sia euclideo e si prescinda 
da differenza tra reale e immaginario (ossia si suppongano p. es. 
tutti gli spazii a curvatura negativa) 
ds ' 1 — E 
m 
dxf- 
( 1 ) 
