Sulla, teoria delle forme quadratiche Rermitiane eoe. 
portano a gruppi discontinui di trasformazioni proiettive sulle 
variabili — = u t + i i\ (i = 1 2 , .... , n — 1) così si può dire : 
x n 
Un gruppo finito di trasformazioni lineari omogenee complesse 
lascia sempre fissa una forma Hermiticvna definita; (ciò che è già 
noto) e viceversa un gruppo discontinuo di movimenti nelle metriche 
definite da una forma Hermitiana definita è finito. Così anche il 
celebre problema dei gruppi finiti di proiettività è strettamente 
unito alle nostre metriche, così come la teoria dei gruppi finiti 
di proiettività reali è connessa con la teoria delle metriche liie- 
manniane, teoria che servì già al Ctoursat e al Bagnerà per sco- 
prirne una intera classe. 
Osservo poi come la metrica rispetto una forma .fi — x 2 fi 
coincide con le metriche pseudosferiche; e ciò perchè i movi- 
menti di tali metriche vengono, come sappiamo, dati da trasfor- 
mazioni lineari sulla variabile u. + i v, = — . 
l l x 2 
Nel caso di n — 2 le nostre teorie includono così i gruppi 
fuchsiani e la teoria dei sistemi di forme Hermitiane a 2 varia- 
bili include perciò le teorie di Hilbert-Blumenthal , dei gruppi 
iperabeliani di Picard ecc. come casi particolarissimi. 
Nel caso di n > 3 otteniamo delle metriche allatto nuove. 
La loro teoria si può svolgere, per semplicità, nel caso di n— 3; 
i teoremi valgono in generale. Ecco qui le proprietà fondamen- 
tali e caratteristiche, a cui conduce lo studio del caso n == 3. 
Posto fi- = u + i v , = n -j- i v 9 si ha : 
Jj assoluto è rappresentato dalV iper sfera (t definita da u‘f 
V? + u| + vi = 1. A lle rette del piano complesso , in cui , x 9 , x 3 
sono coordinate omogenee corrispondono degli spazii G 2 , a due di- 
mensioni , caratterizzati geometricamente dall’ appoggiarsi a due rette 
fisse immaginarie coniugate. Per due punti A, B dello spazio am- 
biente passa perciò uno e un solo di questi Gr 2 . 
In ognuno di questi Cf 2 la metrica subordinata che ne viene 
definita è una metrica pseudosferica il cui assiduto è V intersezione 
I di (f 2 con Cf ; i cerchi dei nostri Ci., che tagliano il corrispon- 
Atti Acc. Serie 4 a , Vol. XVII — Meni. IV. 
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