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Guido Fubini 
[Memoria IX.J 
Porremo 
— - u i — «] - j- « ttj ; — = «q = m 2 t w 2 
dove u x , Mi' , u 2 , «2 sono variabili reali. A ogni trasformazione 
lineare omogenea T sulle x, y , z corrisponde una trasforma- 
zione T' lineare fratta (in generale) sulle variabili u x , u 2 . Sia- 
no u x , u% le variabili immaginarie coniugate delle u x , u, 2 . Con- 
sideriamo quelle trasformazioni Pelle lasciano fìssa la A e le cor- 
rispondenti trasformazioni T' . Nello spazio B , in cui le u' x , ?q, 
u 2 , u 2 sono le variabili coordinate , le trasformazioni T' costi- 
tuiscono un gruppo continuo, che si può considerare come grup- 
po di movimenti di una metrica definita dall’ elemento lineare 
reale definito 
(1) ds 2 = 
(1 — u 2 uf) du L du\ -j- (1 — u l u\) du 2 dui -f- u i du\-\-u 2 u\ du l dui 
(1 — u L u\ — u 2 u \ ) 2 
dove è naturalmente u i = %-f- i u x , u 2 = u 2 + i ecc. Ciò si 
può verificare direttamente , o anche dedurre dalle formule da 
me date nei luoghi citati per la distanza (nelle nostre metriche) 
di due punti , esaminando ciò che essa diventa se i due punti 
sono infinitamente vicini. (*) 
Consideriamo ora le u x , u x , u ' 2 , u 2 come coordinate carte- 
siane in uno spazio euclideo rappresentativo B ; in questo l’as- 
soluto del nostro spazio B ha per immagine l’ipersfera 8 data da 
( 2 ) 
(ufi -f- (ufi -f (ufi -f- (ufi — 1 
e le geodetiche uscenti dal punto O (u' x =0, u x = 0, 0, \(' x = 0) 
hanno per immagine le rette uscenti dall’ origine. Le ipersfere 
di B col centro in 0 hanno per immagine le ipersfere di B' 
(*) Cfr. loc. cit. pag. 42. 
