Applicazioni analitiche dei gruppi di proiettività ecc. 
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col centro nell’ origine : in una parola le ipersfere di B' col cen- 
tro nell’ origine sono anche ipersfere per B. 
Troviamo ora che relazione passa tra il raggio p di queste 
ipersfere nella metrica (euclidea) di B' e il raggio r, che cor- 
risponde a esse nella metrica di B. Per veder ciò moviamoci 
su quella retta di B' , definita da u'i = u 2 = u 2 — 0. Essa ci 
rappresenta una geodetica di B ; due punti infinitamente vicini 
di essa, rappresentano due punti infinitamente vicini di B , la 
cui distanza, essendo per ipotesi u i = u\ = u\ ; u 2 = n% = 0 , è 
data per la (1) da 
Se dunque il raggio euclideo della nostra sfera è p , il rag- 
gio r sarà 
( 3 ) 
Troviamo ora il volume non-euclideo della nostra sfera di 
raggio r. Sia d~ V elemento di volume della nostra metrica ; co- 
me si sa se A è il discriminante di ds 2 , è dx—\/ a du i du ( { du 2 
dui. Ora si trova facilmente che 
quindi 
A 
1 
16 (1 — u l u\ — u 2 ul) 6 
d T : 
du l du\ du 2 dui 
4 (1 — u l ul — u 2 ulf 
Passando alle variabili reali ili u [ , u’ 2 u 2 si trova che 
du\ du[ dui dui 
1 1 ~ (1 — Wf 
( 4 ) 
