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Guido Fubini 
[Memoria IX.] 
dove sia o 2 = (u]) 2 -f- (m]') 2 -f- (iù^f + («a) 2 - Se noi indichiamo con 
dx' 1’ elemento di volume euclideo corrispondente in B' troviamo 
Introduciamo in B! coordinate polari, ponendo 
8 cos 6 ; u'i=b sen 6 cos cp ; *4=8 sen 0 sen cp cos cj>; <4—8 sen ® seri cp sen <]> 
dove 8, 0, <p, 4*, sono variabili varianti rispettivamente negli in- 
tervalli (0, + 00 ), (0, Tt), (0, ir), 0, 2tz). Si ha che 
dx i ^ 8 3 sen 2 6 sen cp dO dy <Zc{) dh 
E quindi 
d x = 
sen 2 6 seu cp dà dcp d r \> 
Quindi il volume non — euclideo di una ipersfera il cui rag- 
gio euclideo (il raggio dell’ immagine euclidea) èpe dato da 
Se r è il raggio non euclideo della nostra sfera abbiamo 
per la (3) che questo volume V è dato dalla 
V 
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2 r —Ir \ 2 
e -\~ e — 2 
'ir 
32 
Consideriamo un movimento qualsiasi T della nostra me- 
trica. 
Le lunghezze (non euclidee) , i volumi ecc. non vengono 
naturalmente alterate. Siano u ì , u 2 , u \ , u% le coordinate del 
punto corrispondente per il movimento T al punto C = (u ì , u 2 
